第
5
章
1. 对 Markov 链，
，试证条件
，
，
等价于对所有时刻 n
，
m 及所有状态
，，
，
，，
有
，
，，
，
，
解：证明：
，
，，
，
，，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
由
(1)
得到：
，，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在 中取 ，即
2. 考虑状态 0，1，2 上的一个 Markov 链
，它有转移概率矩阵 ，
初始分布为
0 1 2
0.4 0.4 0.2p p p ， ，
。试求概率
0 1 2
P( 0 1 2)X X X ， ，
。
0 1 2 2 1 1 0 0
01 12
0 1 2
P 0 1 2 P( 2 | 1)P( 1| 0)P( 0)
0.1 0
P 0 1 2 0 0.1 0.4 0
X X X X X X X X
p p
X X X
解： ， ，
转移概率矩阵可得： ，
所以 ， ，
3.
从
中，等可能地取出
个数，取后放回，连续去下去，若在前
n
次所取得的最大数为
j
，就说“质
点”在第
n
步处于状态
j
，该“质点”运动构成一个
链，试求一步转移概率矩阵。
解：下面记
为矩阵中第 i 行,第 j 列元素
1, 1i j
表示直到第
步最大数是
,第
步也是
概率为
……
的概率也是
所以
…
如此类推
而当
时
,
可知一步转移矩阵是上三角矩阵
,
对角线上元素分别为
1 2
, , ,1
6 6
，右上方元素
全是
1
6
。
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