没有合适的资源？快使用搜索试试~ 我知道了~

首页常微分方程边值问题的数值解法.pdf

常微分方程边值问题的数值解法.pdf

边值问题

微分方程

数值算法

需积分: 16 32 下载量 87 浏览量更新于2023-04-28 评论 2 收藏 9.27MB PDF 举报

身份认证购VIP最低享 7 折!

领优惠券(最高得80元）

试读

24页

介绍常微分方程的边值问题的数值方法。只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为例介绍常用的数值方法。

资源详情

资源评论

资源推荐

第 8 章常微分方程边值问题的数值解法

引言

第 7 章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的

边值问题的数值方法。

只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微

分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为例介绍常

用的数值方法。

一般的二阶常微分方程边值问题 (boundary-value problems for second-order ordinary

differential equations)为

, (8.1.1)

其边界条件为下列三种情况之一：

(1) 第一类边界条件 (the first-type boundary conditions)：

(2) 第二类边界条件 (the second-type boundary conditions)：

(3) 第三类边界条件 (the third-type boundary conditions)：

定理 8.1.1 设中的函数及其偏导数 , 在

上连续. 若

(1) 对所有，有；

(2) 存在常数，对所有，有 ,

则边值问题(8.1.1)有唯一解。

推论若线性边值问题

(8.1.2)

满足

(1) 和在上连续；

(2) 在上, ,

则边值问题(8.1.1)有唯一解。

求边值问题的近似解，有三类基本方法：

(1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终

化为代数方程求解；

(2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。

差分法

8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法

设二阶线性常微分方程的边值问题为

其中在上连续，且 .

用差分法解微分方程边值问题的过程是：

(i) 把求解区间分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；

(ii) 构造逼近微分方程边值问题的差分格式. 构造差分格式的方法有差分法, 积分插值

法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；

(iii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程.

现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1), 的差分方程.

( i ) 把区间等分，即得到区间的一个网格剖分：

其中分点，并称之为网格节点(grid nodes)；步长 .

( ii ) 将二阶常微分方程(8.2.2)在节点处离散化：在内部节点

处用数值微分公式

(8.2.3)

代替方程(8.2.2)中，得

, (8.2.4)

其中 .

当充分小时，略去式(8.2.4)中的，便得到方程的近似方程

, (8.2.5)

其中 , 分别是的近似值, 称式

(8.2.5) 为差分方程 (difference equation) ，而称为差分方程逼近方程的截断误差

(truncation error). 边界条件写成

(8.2.6)

于是方程(8.2.5), 合在一起就是关于个未知量，以及个方程式的线

性方程组：

(8.2.7)

这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1), 的差分方程组(system of difference equations)或差分

格式(difference scheme)，写成矩阵形式

(8.2.8)

用第 2 章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.7)或其解称为

边值问题的差分解(difference solution). 由于是用二阶中心差商代替方程中的二阶微商得

到的，所以也称式为中心差分格式(centered-difference scheme).

( iii ) 讨论差分方程组(8.2.7)或的解是否收敛到边值问题的解，估计误差.

对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或

当时，差分解是否收敛到微分方程的解 . 为此介绍下列极值原理：

定理 8.2.1 (极值原理) 设是给定的一组不全相等的数，设

. (8.2.9)

(1) 若 , 则中非负的最大值只能是或；

(2) 若 , 则中非正的最小值只能是或 .

证只证(1) 的情形，而(2) 的情形可类似证明.

用反证法. 记，假设 , 且在中达到. 因为不全

相等，所以总可以找到某个，使，而和中至少有一个

是小于的. 此时

因为，所以 , 这与假设矛盾，故只能是或 . 证毕！

推论差分方程组(8.2.7)或的解存在且唯一.

证明只要证明齐次方程组

(8.2.10)

只有零解就可以了. 由定理 8.7.1 知，上述齐次方程组的解的非负的最大值

和非正的最小值只能是或 . 而，于是证毕！

利用定理 8.2.1 还可以证明差分解的收敛性及误差估计. 这里只给出结果：

定理 8.2.2 设是差分方程组的解，而是边值问题的解在上的值，其

中 . 则有

(8.2.11)

其中 .

显然当时， . 这表明当时，差分方程组(8.2.7)或的解

收敛到原边值问题的解.

例 8.2.1 取步长，用差分法解边值问题

并将结果与精确解进行比较.

解因为， , 由式(8.2.7)得差分格式

, , 其结果列于表 8.2.1.

表 8.2.1

准确值

－0. 0332923

－

－0. 0649163

－

－0. 0931369

－

－0. 1160831

－

－0. 1316725

－

－0. 1375288

－

－0. 1308863

－

－0. 1084793

－

－0. 0664114

－

从表 8.2.1 可以看出, 差分方法的计算结果的精度还是比较高的. 若要得到更精确的数

值解，可用缩小步长的方法来实现.

8.2.2 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法

对一般的二阶微分方程边值问题

(8.2.12)

假定其解存在唯一.

为求解的近似值，类似于前面的做法，

( i ) 把区间等分，即得到区间的一个网格剖分：

其中分点，步长 .

( ii ) 对式(8.2.12)中的二阶导数仍用数值微分公式

剩余23页未读，继续阅读

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值问题的...

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf实验报告七常微分方程初值...

常微分方程初值问题数值解法的比较.pdf

图灵猫

粉丝: 4w+
资源: 5

上传资源快速赚钱

我的内容管理收起

我的资源快来上传第一个资源

我的收益

登录查看自己的收益

我的积分登录查看自己的积分

我的C币登录后查看C币余额

我的收藏

我的下载

下载帮助

会员权益专享

常微分方程边值问题的数值解法.pdf

评论0

会员权益专享

最新资源

常微分方程边值问题的数值解法.pdf

评论0

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf

实验报告七 常微分方程初值问题的数值解法.pdf

常微分方程初值问题数值解法的比较.pdf

利用MATLAB解常微分方程边值问题

"分数阶偏微分方程组数值解法

17. 常微分方程数值解法在气候变化模型中的应用

科学计算与MATLAB中的常微分方程数值解法

常微分方程组的数值解法：以欧拉方法为基础的数值方法

张伟年常微分方程pdf

常微分方程教程定同仁.pdf

随机微分方程(胡适耕).pdf

微分方程数值解法基础教程第三版 pdf

matlab微分方程高效解法 pdf

《高等数值分析》.pdf

matlab微分方程高效解法谱方法原理与实现pdf下载

matlab微分方程高效解法:谱方法原理与实现pdf

微分方程定性理论张芷芬pdf

数值计算方法黄云清pdf

华章数学数值方法pdf

数值分析期末考题pdf

会员权益专享

最新资源

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法.pdf