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非线性规划

梯度下降法

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运筹学第六章：非线性规划

Charles007

October 22, 2020

1 基本概念

1.1 非线性规划的数学模型

非线性规划的数学模型的一般形式是







min f(X)

h

i

(X) = 0 (i = 1, 2, · · · , m)

g

j

(X) ≥ 0 (j = 1, 2, · · · , l)

(1)

为了让数学模型中不出现等式约束，对于一个等式约束 g

j

(X) = 0，可以用两个不等式约束代替它：



g

j

(X) ≥ 0

−g

j

(X) ≥ 0

于是可以将标准数学模型改写为：



min f(X) X ∈ R ⊂ E

n

R = {X|g

j

(X) ≥ 0} (j = 1, 2, · · · , l)

(2)

式 2中 R 为问题的可行域。

1.2 几个定义

下面给出有关局部极小和全局极小的定义。设 f(X) 为定义在 n 维欧式空间 E

n

的某一区域 R 上的 n 元

实函数

(

可记为

f

(

X

) :

R

⊂

E

n

→

E

1

)

，对于

X

∗

∈

R

，如果存在某个

ε

≥

0

，使所有与

X

∗

的距离小于

ε

的

X ∈ R(即 X ∈ R 且 ||X − X

∗

|| ≤ ε)，都有 f(X) ≥ f (X

∗

)，则称 X

∗

为 f(X) 在 R 上的局部极小点，f (X

∗

)

为局部极小值。若对于所有 X = X

∗

且与 X

∗

的距离小于 ε 的 X ∈ R，都有 f(X) > f(X

∗

)，则称 X

∗

为

f(X) 在 R 上的严格局部极小点，f(X

∗

) 为严格局部极小值。

设 f(X ) 为定义在 E

n

的某一区域 R 上的 n 元实函数，若存在 X

∗

∈ R，对所有 X ∈ R 都有 f(X) ≥ f(X

∗

)，

则称 X

∗

为 f (X) 在 R 上的全局极小点，f(X

∗

) 为全局极小值。若对于所有 X ∈ R 且 X = X

∗

，都有

f

(

X

)

> f

(

X

∗

)

，则称

X

∗

为

f

(

X

)

在

R

上的严格全局极小点，

f

(

X

∗

)

为严格全局极小值。

如将上述定义中的不等号反向，即可得到相应的极大点和极大值的定义。本文仅就极小点和极小值加以说

明，而且注意研究局部极小问题。

1.3 多元函数极值点存在的条件

二阶可微的一元函数 f(x) 极值点存在的条件：f

′

(x) = 0(必要条件)；对极小点，f

′

(x) = 0 且 f

′′

(x) > 0，对

极大点，f

′

(x) = 0 且 f

′′

(x) < 0,(充分条件)。对于无约束多元函数，其极值点存在的必要条件和充分条件，与一

元函数极值点的相应条件类似。

定理１给出了 n 元实函数 f(X) 在 X

∗

点取得极值的必要条件。

定理１设 R 是 n 维欧式空间 E

n

上的某一开集，f(X) 在 R 上有连续的一阶偏导数，且在点 X

∗

∈ R 取

得局部极值，则必有

∂f (X

∗

)

∂x

1

=

∂f (X

∗

)

∂x

2

= · · · =

∂f (X

∗

)

∂x

n

= 0 (3)

1

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