齐次坐标可以方便地表达点在直线或者平面上。2D 平面上,直线 L: 用
向量记作
,点 p = (x, y)的齐次坐标
在直线 L 上的充分必要条件
可用向量内积表示:
=0.同理,三
维空间的一个平面 A 可以用方程 ax + by + c*z + d = 0 来表示,三维空间的一个点 P=(x,
y, z) 的齐次坐标 P'=(x, y, z, 1),点 P 在空间平面 A 上可以用两个向量的内积来表示,
如下:
.
在齐次坐标下,可以用两个点 p,q 的齐次坐标叉乘结果来表达一条直线 L,也就是 L=pxq,
也可以使用两条直线 L,M 的叉乘表示他们的交点 .
欧式空间中使用齐次坐标,可以方便的将加法转化为乘法,方便表达平移。例如将 2D
坐标点 x=[u,v]' 平移 t=[tu, tv],用非齐次方法:
用齐次坐
标表示时可以将加法转换为乘法:
.在连续欧式变换中齐次
的简洁就显现出来。
给出点的齐次表达式[X Y H],就可求得其二维笛卡尔坐标,即[X Y H]→
=
[x y 1], 这个过程称为归一化。在几何意义上,相当于把发生在三维空间的变换限制在
H=1 的平面内。许多图形应用涉及到几何变换,主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达
式来计算这些变换时,平移是矩阵相加,旋转和缩放则是矩阵相乘,综合起来可以表示为
p' = m1*p+ m2。引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法,表示为 p' =
p*M 的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的某个点集从一个坐标
系变换到另一个坐标系的有效方法。
二、坐标系转换
在环境中建立一个坐标系,便于描述摄像机和被摄物体在该坐标系下的绝对位置和相对
位置,这个坐标系就称为世界坐标系;以摄像机光心为原点,光轴为 Z 轴,建立的直角坐标
系即为摄像机坐标系;图像物理坐标系是一个二维坐标,它的原点 是摄像机光轴 与成
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