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第一章 排列组合
1、 在小于 2000 的数中，有多少个正整数含有数字 2？
解：千位数为 1 或 0，百位数为 2 的正整数个数为：2*1*10*10；
千位数为 1 或 0，百位数不为 2，十位数为 2 的正整数个数为：2*9*1*10；
千位数为 1 或 0，百位数和十位数皆不为 2，个位数为 2 的正整数个数为：
2*9*9*1；
故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有 7 位 01 串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？
解：（1） 串中有 6 个 1：1 个 0 有 5 个位置可以插入：5 种。
（2） 串中有 5 个 1，除去 0111110，个数为
6
2
-1＝14。
（或：
4
1
4
2
*2
＝14）
（3）串中有 4 个 1：分两种情况：①3 个 0 单独插入，出去 1010101，共
5
3
-1
种；②其中两个 0 一组，另外一个单独，则有
2*)2,2(
4
1
5
2
P
种。
（4）串中有 3 个 1：串只能为**1101**或**1011**，故共 4*2 种。
所以满足条件的串共 48 个。
3、一学生在搜索 2004 年 1 月份某领域的论文时，共找到中文的 10 篇，英文的
12 篇，德文的 5 篇，法文的 6 篇，且所有的都不相同。如果他只需要 2 篇，
但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？
解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6
4、设由 1，2，3，4，5，6 组成的各位数字互异的 4 位偶数共有 n 个，其和为 m。
求 n 和 m。
解：由 1，2，3，4，5，6 组成的各位数字互异，且个位数字为 2，4，6 的偶数
均有 P(5,3)=60 个，于是：n = 60*3 = 180。
以 a
1
,a
2
,a
3
,a
4
分别表示这 180 个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则
m = a
1
+10a
2
+100a
3
+1000a
4
。
因为个位数字为 2，4，6 的偶数各有 60 个，故 a
1
= (2+4+6)*60=720。
因为千（百，十）位数字为 1，3，5 的偶数各有 3*P(4,2) = 36 个，为 2，4，
6 的偶数各有 2*P(4,2) = 24 个，故
a
2
= a
3
= a
4
= (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。
5、 从{1，2，…，7}中选出不同的 5 个数字组成的 5 位数中，1 与 2 不相邻的数
字有多少个？
解：1 与 2 相邻：
)4,4(2
5
3
P
。故有 1 和 2 但它们不相邻的方案数：
)4,4(2)5,5(
5
3
5
3
PP
只有 1 或 2：
)5,5(2
5
4
P
没有 1 和 2：P(5,5)
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