ii
CONTENTS
4 Determinants 225
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.2 Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3 Formulas for the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.4 Applications of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5 Eigenvalues and Eigenvectors 260
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.2 Diagonalization of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.3 Difference Equations and Powers A
k
................... 283
5.4 Differential Equations and e
At
...................... 296
5.5 Complex Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.6 Similarity Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6 Positive Definite Matrices 345
6.1 Minima, Maxima, and Saddle Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.2 Tests for Positive Definiteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.3 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.4 Minimum Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.5 The Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
7 Computations with Matrices 390
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
7.2 Matrix Norm and Condition Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.3 Computation of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
7.4 Iterative Methods for Ax = b ....................... 407
8 Linear Programming and Game Theory 417
8.1 Linear Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
8.2 The Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
8.3 The Dual Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
8.4 Network Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
8.5 Game Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
A Intersection, Sum, and Product of Spaces 459
A.1 The Intersection of Two Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
A.2 The Sum of Two Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
A.3 The Cartesian Product of Two Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 461
A.4 The Tensor Product of Two Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 461
A.5 The Kronecker Product A ≠B of Two Matrices . . . . . . . . . . . . . 462
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