3.4 Simulation relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4 Composing State Machines 137
4.1 Synchrony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2 Side-by-side composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3 Cascade composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4 Product-form inputs and outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 General feedforward composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6 Hierarchical composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.7 Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5 Linear Systems 187
5.1 Operation of an infinite state machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2 Linear functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.3 The [A,B,C, D] representation of a system . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4 Continuous-time state-space models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6 Hybrid Systems 231
6.1 Mixed models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2 Modal models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.3 Timed automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.4 More interesting dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.5 Supervisory control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.6 Formal model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
iv Lee & Varaiya, Signals and Systems
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