主成分分析算法是一种重要的统计分析方法，用于将多变量数据转换为少数几个综合指标，从而实现数据的降维处理。本篇文章以中国大陆35个大城市某年的10项社会经济统计指标数据为例，展示了如何运用Matlab这一强大的工具进行主成分分析。
首先，Matlab因其在科学计算领域的广泛应用，提供了丰富的功能来支持主成分分析。算法的核心步骤包括：
1. 计算相关系数矩阵：通过（1）式，rij代表变量xi和xj之间的相关系数，计算时仅需计算上或下三角元素，因为相关系数矩阵是对称的。这一步骤有助于揭示变量间的线性关系。
2. 特征值与特征向量的计算：特征值和特征向量的求解是主成分分析的关键。通过雅可比法计算特征值，将其按大小排序，并找到对应的特征向量。选择具有较大贡献率的主成分，一般要求累计贡献率超过85%。
3. 主成分贡献率与累计贡献率：贡献率衡量每个主成分解释原始变量变异的程度，而累计贡献率则显示前几个主成分累积解释的总变异量。
4. 主成分载荷和得分：主成分载荷是变量与主成分之间的权重，通过（3）式计算得到；主成分得分则是观测值在主成分上的投影，可用（4）式进一步计算。
在Matlab中实现主成分分析，文章介绍了两种方式：编程实现和使用内置函数。编程实现主要包括以下步骤：
- 主函数：负责调用子函数完成整个分析过程。
- 子函数Cwstd.m：采用总和标准化法对数据进行预处理，确保变量在同一尺度上。
- Cwfac.m：执行核心计算，包括相关系数矩阵的计算、特征值和向量的求解、主成分选择以及贡献率的计算。
- Cwscore.m：计算主成分得分，并可能进行排序。
- Cwprint.m：读取数据、调用前三个函数，最终输出分析结果。
通过源程序cwstd.m至Cwprint.m的具体实现，读者可以了解到如何在Matlab环境中编写代码，实现主成分分析的各个环节。这种方法不仅实用，还便于理解和扩展到其他数据集。这种数据分析技术在诸如经济预测、市场分析、科学研究等领域有广泛的应用价值，因为它能有效地提炼数据的关键特征，降低复杂性，提高模型的解释性和有效性。
