SVM分类原理：线性可分与非线性映射解析

"这篇文章是关于SVM（支持向量机）分类原理的简要介绍，主要探讨了SVM如何处理线性可分和线性不可分的问题，以及内积核函数在解决非线性问题中的应用。" SVM（支持向量机）是一种强大的监督学习模型，主要用于分类和回归分析。它的核心思想是找到一个最优超平面，能够最大程度地分离不同类别的样本。在二维或三维空间中，超平面是一条直线或一个平面，但在高维特征空间中，它可以是更复杂的边界。 1. 线性可分情况 当数据集可以被一个超平面完美分割时，SVM寻找的是这个使得两类样本间隔最大的超平面。间隔最大化意味着将两类样本点与超平面的距离最大化，以提高模型的泛化能力。这个优化问题可以通过解决一个凸二次规划问题来解决，寻找向量w和偏移量b，使得所有样本点都满足相应的约束条件。在解决过程中，Lagrange乘子λ用于满足KKT条件，而那些对分类没有贡献的样本（即满足λ=0的样本）被称为非支持向量。 2. 线性不可分情况 对于线性不可分的数据，SVM利用核函数的概念将原始数据映射到一个高维特征空间，在这个新空间中，原本非线性可分的问题变得线性可分。通过选择合适的核函数，如多项式、径向基函数（RBF）或Sigmoid函数，可以模拟出在高维空间中的内积运算，从而实现非线性分类。目标函数和分类函数的形式会相应地改变，以适应这个映射过程。 3. 内积核函数 核函数是SVM解决非线性问题的关键。常见的核函数包括： - 多项式核：一般形式为 (γ * <x, y> + coef0)^d，其中γ是调整参数，coef0是常数项，d是多项式的阶数。 - 径向基函数（RBF）核：也称为高斯核，形式为 exp(-γ * ||x - y||^2)，γ是调整参数，控制决策边界的宽度。 - Sigmoid核：类似逻辑回归中的激活函数，形式为 tanh(γ * <x, y> + coef0)，同样包含γ和coef0两个参数。 通过选择和调整合适的核函数，SVM可以在保持计算效率的同时处理各种复杂的数据分布，从而实现高精度的分类效果。 SVM通过构建最优超平面和利用核函数，能够有效地处理线性可分和线性不可分问题，尤其在小样本、高维度和非线性问题上表现出色。它不仅提供了良好的泛化性能，还具有理论上的保证，是机器学习领域中的重要工具。