Runge现象在高阶多项式插值中的研究

"这篇研究论文深入探讨了Runge现象，主要关注高阶多项式插值中的问题，并通过计算系统误差证明了插值多项式的发散性。作者是佘嘉博和谭艳祥，来自长沙理工大学数学与统计学院。文章首先阐述了Runge现象的原理，然后通过Runge函数、反三角函数和分数函数的例子，利用等间隔的牛顿插值法求得函数的插值多项式，并得到插值残差函数表达式。接着，计算相邻两个节点的中点处的误差，以此确定这三种函数在Runge现象中的行为特性。" Runge现象，源于19世纪末德国数学家Carl Runge的研究，是一个在数值分析中常见的问题，特别是在插值法中。当使用高阶多项式对离散数据点进行插值时，Runge现象会导致在数据点间远离样本点的区域插值结果出现剧烈振荡，甚至出现发散的情况。这种现象通常出现在数据点均匀分布的情况下，特别是在两端的数据点比较稀疏时，中间区域的插值曲线可能会变得非常不稳定。 论文中，作者首先解释了Runge现象的产生机制，指出高阶多项式插值可能导致的系统误差是造成插值发散的原因。系统误差通常是由于模型简化或近似处理引入的，而在这里，它揭示了多项式插值在某些特定条件下可能失去精度的问题。 接下来，为了具体展示Runge现象，作者选取了几个具有代表性的函数：Runge函数（一个特别设计来演示Runge现象的函数）、反三角函数和分数函数。Runge函数是一个在两端快速变化的函数，非常适合用来演示插值过程中的振荡现象。通过等间隔的牛顿插值法，作者构造了这些函数的插值多项式，并得到了相应的插值残差函数表达式。残差函数能够显示出插值过程中的偏差，从而帮助理解Runge现象的动态。 此外，作者还计算了相邻两个插值节点的中点处的误差。在Runge现象中，这些中点处的误差通常较大，因为它们反映了插值多项式在节点之间如何快速变化。通过这些计算，可以更直观地看到这三种函数在不同插值情况下的误差分布，进一步证实了Runge现象的存在，并可能为避免或减轻这种现象提供线索。 这篇研究论文提供了对Runge现象的深入理解和实例分析，对于理解和改进数值插值方法，尤其是在工程和科学计算中选择合适的插值策略，具有重要的理论和实践意义。