卷积积分详解与电路系统分析

"该资源是一份关于《信号与系统》课程的讲稿，主要讲解了第二章连续时间系统的时域分析，特别是卷积积分的概念和应用。" 在《信号与系统》中，卷积积分是一个至关重要的概念，它在连续时间系统的时域分析中扮演着核心角色。卷积积分被用来描述线性时不变（LTI）系统中输入信号和系统响应之间的关系。如果两个函数f1(t)和f2(t)都在[-∞, +∞]上定义，它们的卷积积分S(t)定义为： \[ S(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f1(\tau) f2(t - \tau) d\tau \] 卷积积分的图形解释通常涉及将一个函数f1(t)沿时间轴翻转并滑过另一个函数f2(t)，在每个位置取两函数的乘积的积分。这个过程产生的曲线S(t)就是系统的输出。 在实际的信号处理和系统分析中，卷积积分经常用于计算LTI系统的输出。例如，在电路理论中，当一个激励信号e(t)通过一个线性电路（如RC或RL电路）时，电路的响应r(t)可以通过卷积积分来确定。电路的响应r(t)是激励e(t)与系统冲激响应R(t)的卷积。 建立系统模型是分析的关键步骤。模型是对系统物理特性的数学抽象，可以是数学表达式或是理想特性的符号组合图形。例如，电路模型通常基于电路元件的伏安特性，如电阻器、电容器和电感器的欧姆定律、基尔霍夫电压定律和电流定律。这些定律帮助我们建立微分方程，进一步通过卷积积分求解系统响应。 在电路系统中，电阻器遵循欧姆定律，即电压u(t)等于电流i(t)与电阻R的乘积；电容器的电压uC(t)与电荷q(t)（即电流i(t)的积分）成正比，且与时间有关；电感器的电压uL(t)与电流i(t)的变化率成正比。这些关系可以转化为微分方程，然后通过卷积积分找到系统的精确解。 时域分析方法主要包括经典方法（求解微分方程）和卷积积分。卷积积分在解决线性系统的动态响应问题时特别有用，因为它允许我们将已知的输入信号与系统的冲激响应相结合，从而直接得到系统的输出。 卷积积分在《信号与系统》中是一个核心概念，它在理解和分析连续时间系统的动态行为时不可或缺。通过学习和掌握卷积积分，我们可以更深入地理解信号处理和控制系统的工作原理。