整数线性规划求解：分支定界法与割平面法解析

"本文主要介绍了整数线性规划的求解方法，特别是分支定界法在整数规划中的应用。整数规划是在线性规划的基础上加入了整数约束，即决策变量必须取整数值。在实际问题中，如投资决策、生产调度、工厂选址和设备购置等，整数规划模型广泛应用于寻找最优解。文章通过举例说明了整数规划模型的构建，并探讨了线性规划最优解与整数规划最优解的关系以及割平面法和分支定界法的求解过程。" 整数规划是运筹学的一个重要分支，它在实际问题中处理那些要求决策变量为整数的情况。例如，一个公司分配有限的资金进行项目投资，或者工厂安排机器加工零件以最小化成本，这些问题都可以通过整数规划模型来解决。 线性规划的最优解并不总是整数解，因此，即使线性规划给出了最优解，也并不意味着它是整数规划的最优解。为了找到整数规划的最优解，通常需要采用特殊的方法，如割平面法和分支定界法。 割平面法是通过逐步添加割平面（非整数点不可达的超平面）来缩小线性规划（LP）问题的可行域，直至所有顶点都成为整数解。割平面由非基变量的下界或上界引入，确保新的解仍是最优的。割平面的构造基于单纯形表，通过诱导方程将非整数解拆分为整数部分和分数部分，然后引入新的约束条件来排除非整数解。 分支定界法是一种更为系统化的求解整数规划的方法，它通过将问题的可行域划分为子集（分支），并逐步缩小这些子集以找到最优解。首先，求解线性规划的松弛问题（即放宽整数约束），如果得到的解是整数，那么它就是整数规划的最优解；否则，对非整数变量进行分支，形成两个子问题，分别限制该变量在小于和大于其当前最优值的整数部分。在每个子问题中重复这一过程，直到找到最优整数解或者证明无更优整数解存在。 在实际应用中，分支定界法通常比割平面法更有效，因为它能确保搜索空间的系统性和完整性。分支定界法通过构建一棵分支树，每个节点代表一个子问题，通过剪枝策略减少不必要的计算，以提高求解效率。 整数线性规划在解决实际问题时具有重要价值，而割平面法和分支定界法则是解决这类问题的关键技术。通过对这些方法的理解和运用，我们可以更有效地找到满足整数约束的最优决策方案。