马尔可夫链与随机过程应用：公交乘客分布与通信系统解析

"陆大的《马尔可夫链\随机过程及其应用》习题答案，包含第一章概论的两个题目解答。" 在这个摘要中，我们可以提取出几个关键的IT知识领域，主要是关于马尔可夫链和随机过程的应用。以下是这些知识点的详细解释： 1. **马尔可夫链** (Markov Chain)： - 马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一个系统随时间演变的行为。在这个问题中，乘客登车的过程就是一个马尔可夫过程。乘客登车的状态只依赖于当前时刻，而不依赖于过去的事件，即满足马尔可夫性质。 - 概率分布：每名乘客登上A车或B车的概率是已知的，分别是2/3和1/3，且各乘客的选择独立。 2. **二项式分布** (Binomial Distribution)： - 第一题中，当t=n时在A车上的乘客数η服从二项式分布。二项式分布用于表示在n次独立的伯努利试验中成功次数k的概率分布，其中每次试验成功的概率是p。 - 求解η的概率P(η=k)可以使用二项式分布公式：P(η=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)是组合数，表示从n次试验中选取k次成功的方式数。 3. **随机过程的性质**： - 在第二题中，描述了一个随机脉宽调制的通信系统，其中脉冲宽度是随机的并且在不同周期之间独立。这涉及到随机变量的统计独立性，意味着每个脉冲宽度的分布不受其他脉冲宽度的影响。 - 脉宽分布是均匀的，在(0, T)区间内，因此它的概率密度函数(f(x))在整个区间上是常数，即f(x) = 1/T 对于所有0 < x < T，而f(x) = 0 其他地方。 4. **概率密度函数** (Probability Density Function, PDF)： - 解决第二题需要找到随机过程ξ(t)的一维概率密度函数f(t)。对于一个连续随机变量，其概率密度函数描述了该变量取某个值的概率分布情况。 - 在这个问题中，由于每个脉冲宽度是独立的且均匀分布，可以通过积分来确定整个随机过程的时间域上的概率密度。 通过这些题目，我们可以深入理解马尔可夫链的基本概念，随机过程的统计特性，以及概率密度函数在实际问题中的应用。这些知识在通信工程、数据科学和许多其他IT领域都有广泛应用。