Legendre伪谱法求解最优控制问题及应用解析

"最优控制问题的Legendre伪谱法求解及其应用_徐少兵.pdf" 本文主要探讨了最优控制问题的Legendre伪谱法求解技术，并介绍了其在实际问题中的应用。 Legendre伪谱法是一种高效解决最优控制问题（OCP）的直接法，它通过对状态和控制变量进行全局插值多项式参数化，将原本复杂的连续时间最优控制问题转化为非线性规划问题（NLP），从而简化求解过程。 首先，作者总结了利用Legendre伪谱法处理Bolza型最优控制问题的基本框架。Bolza型最优控制问题通常涉及一个在时间区间内最大化或最小化的性能指标，并且受到动态约束和边界条件的限制。通过Legendre多项式插值，可以将连续的控制和状态变量离散化为有限个节点上的值，这些节点通常由Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) 配点选取，以保证边界条件的精确满足。 其次，文章详细推导了最优控制问题的伴随变量与非线性规划问题的Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件之间的映射关系。KKT条件是求解非线性规划问题时的一组必要条件，它们确保了极小化问题的局部解满足一系列优化约束。 接着，作者提出了基于拟牛顿法的LGL配点数值计算方法。拟牛顿法是一种迭代优化算法，用于寻找非线性优化问题的局部最小值，通过模拟牛顿法的步长更新策略，但避免了直接计算Hessian矩阵，降低了计算复杂性。 对于非光滑系统，文章进一步研究了分段伪谱逼近策略。在存在跳跃、冲击或不连续性的控制问题中，采用分段伪谱方法能够更好地处理这些非连续特性，保证了数值求解的稳定性和精度。 最后，作者基于上述理论开发了一个通用的最优控制问题求解器，并用三个典型的最优控制问题进行了数值实验，实验结果验证了所提出方法的有效性和该求解器的可靠性。 关键词：最优控制，伪谱法，非线性规划，数值求解 通过以上分析，我们可以看出，Legendre伪谱法在解决最优控制问题上展现出了强大的潜力，特别是在处理复杂的动态系统和非光滑问题时，它的高效性和准确性使其成为一种有价值的工具。这种方法不仅在学术研究中有广泛应用，也对工程实践，如自动驾驶、航空航天控制等领域，具有重要的实用价值。