算法导论：随机分治法求顺序统计量

"《算法导论》原版英文课件第六讲主要讲解了排序统计，即如何找到数组中第i小的元素，也就是具有特定排名的元素。课件提到了随机化分治策略来实现这一目标，并分析了预期运行时间和最坏情况下的线性时间复杂度。此外，还特别讨论了寻找最小值、最大值和中位数的问题。" 在《算法导论》的第六讲中，重点介绍了“顺序统计”（Order Statistics）的概念。顺序统计主要是指在n个元素中选取第i小的元素，这里的i可以是1（最小值）、n（最大值）或者是当n为奇数时的中位数（(n+1)/2），或者当n为偶数时的中位数（(n+1)/2或(n+1)/2）。一个简单的解决方法是对数组进行排序，然后直接索引出第i个元素。然而，这种方法的最坏情况运行时间为Θ(nlgn)，例如使用归并排序或堆排序，但不建议使用快速排序。 为了提高效率，课程提出了一个随机化的分治算法——RAND-SELECT。这个算法首先检查边界情况：如果数组只有一个元素，那么直接返回该元素。接着，通过RAND-PARTITION函数随机划分数组，将元素分为两部分，确定中间元素r的排名k。如果i等于k，那么r就是我们要找的第i小的元素；如果i小于k，则在左侧子数组RAND-SELECT(A,p,r-1,i)；如果i大于k，则在右侧子数组RAND-SELECT(A,r+1,q,i-k)中继续查找。此算法利用了随机划分来达到平均情况下较好的性能。 RAND-SELECT算法的关键在于RAND-PARTITION函数，它通过随机选择一个枢轴元素，将数组划分为两部分，使得一部分元素小于枢轴，另一部分大于枢轴，而枢轴元素位于其正确的位置。通过递归调用RAND-SELECT，可以在较小的子数组上继续查找，降低了时间复杂度。 在最坏的情况下，RAND-SELECT算法能够保证线性时间复杂度，即O(n)。这比排序后索引的方法更高效，尤其是在大规模数据处理时。通过随机化策略，RAND-SELECT在预期时间上的性能更加出色，它提供了一种在不确定的输入中寻找特定排名元素的有效方法，对于理解和应用算法具有重要的价值。