深度优先遍历详解：图结构与邻接矩阵/表应用

深度优先遍历（Depth-First Search, DFS）是一种用于探索图或者树数据结构的经典算法，它在图论和计算机科学中具有广泛的应用。在本文中，我们将重点讨论图的深度优先遍历原理、两种主要的图表示方法（邻接矩阵和邻接表）以及如何实现这两种方法来处理图的深度优先搜索。 首先，让我们复习图的基本概念。图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的非线性数据结构，它用来表示对象之间的连接关系。在给定的例子中，图由五个城市（顶点）和它们之间的航空线路（边）构成。在图论中，我们通常使用 G=(V,E) 的形式来表示图，其中 V 是顶点集合，E 是边集合。 1. **邻接矩阵**： 邻接矩阵是一种常用的图表示方法，通过二维数组来存储顶点间的相邻关系。在无向图中，如果顶点 i 和 j 相互连接，矩阵 A[i][j] 和 A[j][i] 都为 1；对于有向图，只有从 i 到 j 的边时，A[i][j] 为 1，A[j][i] 为 0。例如，图1和图2的邻接矩阵分别展示了这种关系。 在算法实现中，创建邻接矩阵需要读取顶点信息并填充相应的值。对于无向图，我们需要同时记录双向关系。 2. **邻接表**： 邻接表则是另一种高效的图表示法，它以每个顶点为中心，将其邻接点信息存储在一个链表中。这种方式节省空间，特别适合稀疏图，即边的数量远小于顶点数量的平方。邻接表中，每个节点包含邻接顶点的索引、可能的权重（如果有权重）以及指向下一个邻接节点的指针。 实现邻接表的方法是为每个顶点创建一个单链表，记录与之相连的顶点及其相关信息。例如，图1的邻接表结构展示了每个城市与其相连的其他城市的简单布局。 在深度优先遍历中，算法的核心思想是从选定的一个顶点开始，尽可能深地探索分支，直到到达某个分支的终点，然后回溯到上一个未访问的顶点继续探索。这个过程会形成一条路径，直到遍历完所有可达的顶点。 在图的邻接矩阵或邻接表中进行深度优先遍历，可以通过递归或栈来实现。具体步骤如下： - 选择一个起点（通常称为起始顶点）。 - 将起点标记为已访问，将其所有相邻的未访问顶点加入队列或栈。 - 从队列或栈中取出下一个顶点，访问并标记为已访问。 - 对其所有未访问的相邻顶点重复上述步骤。 - 当队列或栈为空时，遍历结束。 深度优先搜索的应用场景非常广泛，包括但不限于图的连通性检查、拓扑排序、寻找最短路径（虽然不是最优解，但适用于某些特定情况）、解决迷宫问题等。 总结来说，理解图的深度优先遍历原理，熟练掌握邻接矩阵和邻接表的表示方法，能够帮助我们有效地在各种实际问题中运用这一算法，尤其是在处理复杂的网络关系和路径查找任务时。