三维凸包构造算法及其复杂度分析

"陶文全的《计算流体力学与传热学》中涉及的章节主要探讨了三维凸包的构造及其在计算几何中的应用。凸包是计算几何中的核心概念，它指的是包含所有给定点的最小凸多边形。在三维空间中，这个问题涉及到点集的边界表示和复杂度分析。" 在第 11 章中，介绍了欧拉公式在凸多胞体中的应用，即顶点数(n)、边数(ne)和面数(nf)之间的关系：n - ne + nf = 2。对于凸多胞体，每条边属于两个面，因此有2ne ≥ 3nf。结合欧拉公式，可以推导出面数的上界nf ≤ 2n - 4以及边数的上界ne ≤ 3n - 6。如果多胞体是单纯的（所有面都是三角形），这些上界将变成精确值。 定理 11.1 适用于亏格为零的凸多边形，即没有孔洞的凸多边形。推论 11.2 指出在三维空间中，任意 n 个点的凸包复杂度是 O(n)，这意味着可以高效地构造出包含这些点的最小凸包。 算法方面，如邓俊辉翻译的《计算几何：算法与应用》中提到，构造三维凸包通常采用随机增量式算法。这种算法在第 6 章中也有提及，它是一种逐步添加点并更新凸包边界的策略，适应于处理退化情况，比如当点集中有共线或共面的情况。这种方法对于处理三维空间中的点集特别有效，因为它能够处理各种可能的几何配置，同时保持较低的时间复杂度。 此外，书中还涵盖了其他计算几何的重要主题，如线段求交、多边形三角剖分、线性规划、正交区域查找和点定位等，这些都是计算几何的基础工具，广泛应用于图形学、物理模拟、数据挖掘和工程设计等领域。例如，线性规划在铸模制造中用于求解半平面交集问题，而点定位算法则有助于确定数据结构中的位置查询效率。 Voronoi图是另一关键概念，特别是在地理信息系统和路径规划中，它们帮助确定最近服务设施（如邮局）的位置。排列和对偶的概念则在光线追踪和图像超采样等计算机图形学问题中发挥着作用。 这些知识构建了计算几何的基础，并在解决实际问题时提供了理论支持和算法工具。通过理解和应用这些概念，可以解决诸如流体力学中的边界问题、热传递的模拟以及其他需要处理几何数据的复杂计算任务。