光滑牛顿法解决Po函数非线性互补问题的全局收敛算法

本文主要探讨了求解P.函数非线性互补问题的一种创新方法——一步光滑牛顿法。非线性互补问题（Nonlinear Complementary Problem, NCP）在优化理论和工程应用中具有广泛的应用，其解决通常涉及复杂的非光滑系统。传统的求解策略可能面临局部收敛性和适定性的问题，因此对非线性互补问题进行光滑化处理显得尤为重要。 作者通过对Fischer-Burmeister函数进行光滑化处理，引入了一种新的光滑NCP函数，这是一种特殊的函数形式，能够缓解非光滑问题中的不连续性，使得问题可以转化为一系列参数化的光滑方程组。通过这种方法，非线性互补问题被近似化，使得算法能够在连续的函数空间内进行求解，这有利于提高算法的稳定性并避免数值求解时可能出现的奇异行为。 文中所提出的一步光滑牛顿算法，相较于传统的迭代方法，它采取了一次求解的方式，即在每次迭代中，仅需要解一个光滑化的线性系统，而不是像常规牛顿法那样需要构造和求解Hessian矩阵的逆。这样的设计显著降低了计算复杂度，尤其是在大规模问题中，具有更高的效率。 作者在相对较弱的假设条件下，如适当的初值选择和问题的局部Lipschitz连续性，证明了这一算法的适定性，即算法存在至少一个全局收敛点，且收敛点是问题的全局最优解。此外，他们还展示了算法的全局收敛性，这意味着无论初始解如何选取，只要满足一定的条件，算法最终都会收敛到最优解。 这篇文章提供了一种有效且高效的求解P.函数非线性互补问题的方法，利用光滑牛顿算法克服了非线性互补问题固有的非光滑性，为实际问题的求解提供了新的工具和理论支持。这对于优化理论的研究者和工程应用者来说，无疑是一个重要的贡献。