复变函数学习：袁长迎教授讲解作业与重点

"本章作业-大学复变函数" 这篇资料是关于大学复变函数课程的一份作业，涉及章节包括复变函数的基本概念、复数的运算、复变函数的定义及其初等函数等内容。 首先，复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数，即函数的输入和输出都是复数。复变函数理论在物理、工程和其他科学领域有着广泛的应用。在本章中，复变函数被介绍为从一个复数集（定义域）到另一个复数集（值域）的映射，例如 w=f(z)，其中 z 是自变量，w 是因变量。 复数是实数系统的扩展，解决了负数指数运算的问题。复数由实部和虚部组成，通常表示为 z = x + iy，其中 x 和 y 是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。复数可以用直角坐标系中的点来表示，形成复平面，其中实轴对应于复数的实部，虚轴对应于复数的虚部。 作业中涉及的复数运算包括加减、乘除、幂运算和开方。复数的加减法相当于向量的加减，乘法可以通过分配律和i的性质进行，而除法则需要用到共轭复数。幂运算和开方则涉及到复数的指数形式，即 z = r(cosθ + i sinθ)，其中 r 是复数的模（或绝对值），θ 是辐角。对于复数的幂，可以利用欧拉公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ 来简化计算。 复变函数的定义域是函数能够取定义的复数集合，它可以是复平面上的开放区域、闭合区域或者是这些区域的组合。定义域的边界点可能属于定义域，也可能不属于。在作业中，学生需要处理的具体问题是来自不同章节的题目，例如 §1.1 的某些特定题目以及 §1.2 的部分题目。 初等复变函数包括指数函数、正弦函数和余弦函数等。指数函数 e^z 对于任何复数 z 都有定义，且其导数仍然是自身。在复平面上，e^z 可以通过欧拉公式表示为复数的旋转和放大。正弦和余弦函数也可以扩展到复数域，它们与指数函数有密切的关系，例如 e^(iz) = cosz + isinz。 这份作业涵盖了复变函数的基本概念，要求学生熟悉复数的运算规则，理解复变函数的定义域和初等复变函数的性质，同时通过解题巩固这些理论知识。