质数筛算法详解：从朴素到高级

"这篇资料主要介绍了多种求解质数的方法，包括朴素算法、线性筛法、高级筛法以及轮式筛法。讲解者为王赟Maigo，他在Carnegie Mellon University分享了这些知识，并提供了C语言的实现。内容涵盖了试除法、埃氏筛法、欧拉筛、简易欧拉筛、增量式筛法、分段式筛法以及各种轮式筛法。" 在计算机科学中，质数是指大于1且仅能被1和自身整除的自然数。寻找质数是计算数学中的基础问题，有多种算法可以高效地解决这一问题。 ### 1. 朴素算法 #### 1.1 试除法 最简单的质数检测方法是试除法，即遍历从2到√n的每个整数，如果n能被其中任何数整除，则n不是质数。虽然这种方法直观，但效率较低，不适合处理大数。 #### 1.2 埃氏筛法（埃拉托斯特尼筛法） 埃氏筛法是一种更高效的质数生成方法，通过不断标记并去除一个数的所有倍数，来逐步筛选出质数。从2开始，依次将2的倍数、3的倍数、5的倍数等非质数标记，最后剩下的未被标记的数就是质数。 ### 2. 线性筛法 线性筛法进一步优化了筛选过程，降低空间复杂度。 #### 2.1 欧拉筛 欧拉筛在消除倍数时，只处理小于等于当前数平方根的倍数，避免了重复计算，从而实现了线性时间复杂度。 #### 2.2 简易欧拉筛 简易欧拉筛简化了欧拉筛的实现，减少了不必要的操作，同样达到线性时间复杂度。 ### 3. 高级筛法 #### 3.1 增量式筛法 增量式筛法通过逐步增加质数候选范围，每次只处理新加入的数的倍数，降低了空间开销。 #### 3.2 分段式筛法 分段式筛法将数列分成多个较小的段，分别进行筛选，适合处理大规模数据。 ### 4. 轮式筛法 轮式筛法通过特定的“轮”来组织筛选过程，减少了无效计算。 #### 4.1 轮式埃氏筛 轮式埃氏筛利用某种周期性的规则，使得某些数的倍数不需要处理，提高了效率。 #### 4.2 轮式简易欧拉筛 结合轮式策略与简易欧拉筛，进一步优化了处理过程。 #### 4.3 轮式分段埃氏筛 在分段筛的基础上应用轮式思想，使得筛选更高效。 这些算法各有优劣，适用于不同的场景。在实际应用中，需要根据问题规模、时间和空间限制来选择合适的质数筛法。在编程实现时，理解算法的原理并进行适当的优化，往往能获得更好的性能。