MATLAB实现的计算方法：从插值到线性方程组解法

"王能超教授的《计算方法——算法设计及MATLAB实现》课程相关的课后代码PDF，涵盖了插值方法、数值积分、常微分方程的差分方法、方程求根、线性方程组的迭代法和直接法等内容，提供了MATLAB实现的示例代码。" 本书详细介绍了多种计算方法，并通过MATLAB编程实现，旨在帮助读者理解并掌握这些方法的实际应用。以下是各章节的主要知识点： 1. **插值方法** - **Lagrange插值**：Lagrange插值是一种构造多项式来逼近离散数据点的方法。在MATLAB中的`Lagrange_eval.m`文件中，通过循环计算出Lagrange多项式的权系数N和在特定点x0的值y0。 - **逐步插值（Neville插值）**：Neville插值是一种逐步逼近的过程，用于计算插值多项式在x0处的值。MATLAB的`Neville_eval.m`文件展示了如何递归地计算这个值。 2. **数值积分** - **Simpson公式**：一种数值积分方法，利用二次多项式近似区间内的函数，并分配权重进行积分。 - **变步长梯形法**：通过自适应地调整积分步长来提高精度，相比固定步长梯形法更精确。 - **Romberg加速算法**：通过重复应用梯形法则在越来越小的区间上，利用高次矩加速收敛，提高积分精度。 - **三点Gauss公式**：基于Gauss-Legendre求积公式的一种数值积分方法，利用三个节点进行近似。 3. **常微分方程的差分方法** - **改进的Euler方法**：Euler方法的基础版本，适用于初值问题，但可能不够稳定。改进版考虑了步长的调整以提高稳定性。 - **四阶Runge-Kutta方法**：高精度的数值解法，通过多次近似和加权平均来提高解的准确性。 - **二阶Adams预报校正系统**：Adams方法的一种，结合预报和校正步骤，适用于非线性微分方程。 - **改进的四阶Adams预报校正系统**：对二阶Adams方法的增强，提高了预测精度。 4. **方程求根** - **二分法**：通过不断将区间减半来找到实根，适合处理连续且单调的函数。 - **开方法**（Bisection法的变种）：在二分法的基础上，根据函数值的符号变化来更快地逼近根。 - **Newton下山法**（Newton-Raphson法）：利用函数的切线来迭代寻找根，速度快但需要函数导数。 - **快速弦截法**：基于两点间直线的交点来迭代求解，适用于求解多维问题。 5. **线性方程组的迭代法** - **Jacobi迭代**：迭代法之一，通过交替更新每个未知数来求解线性方程组。 - **Gauss-Seidel迭代**：与Jacobi迭代类似，但同时更新相邻未知数，通常更快收敛。 - **超松弛迭代**（SOR方法）：是Gauss-Seidel迭代的优化版本，通过调整松弛因子来加速收敛。 - **对称超松弛迭代**（SSOR方法）：进一步优化的迭代方法，对称性有助于改善收敛性能。 6. **线性方程组的直接法** - **追赶法**：一种基于矩阵分解的直接解法，通过顺序操作来求解。 - **Cholesky方法**：适用于解对称正定的线性方程组，通过分解矩阵的Cholesky因子。 - **矩阵分解方法**：包括LU、QR等分解，用于高效求解线性方程组。 - **Gauss列主元消去法**：通过消除非主元列的元素，逐步化简方程组至三角形形式，然后回代求解。 这些MATLAB代码示例为学习者提供了实际操作的机会，帮助他们更好地理解和应用计算方法中的理论概念。通过实践这些代码，可以提升解决实际问题的能力，尤其是在科学计算和工程领域。