无单元法与有限元法在工程中的对比与应用

"这篇论文探讨了无单元法与有限元法在工程应用中的对比分析，主要关注三维无单元伽辽金法和非线性有限元法。作者马连军介绍了这两种方法的基本理论，并通过编程实现了相关算法，用以解决悬臂梁等工程问题。论文强调了无单元法在处理某些问题时可能具备更高的计算精度和效率，成为有限元法的有效补充。" 正文: 在工程计算领域，有限元法(Finite Element Method, FEM)作为一种广泛应用的数值方法，已经在结构分析、流体力学、热传导等领域取得了显著成就。然而，随着科学技术的进步，有限元法在处理如动态裂纹扩展、大变形问题等复杂情况时面临挑战，如网格畸变和重构等问题。 无单元法(Enriched Element-Free Galerkin Method, EFGM)作为新兴的数值技术，其核心在于无需预先定义网格，仅依赖节点信息构建离散模型。这种特性使得无单元法在处理大变形、不规则边界或动态问题时具有显著优势，避免了传统有限元法中由于网格质量影响计算精度的问题。无单元法的起源可以追溯到光滑粒子动力学法(Smooth Particle Hydrodynamics, SPH)，但其真正发展起来是通过结合移动最小二乘法(Moving Least Squares, MLS)和伽辽金法，形成了无单元伽辽金法。 移动最小二乘法是无单元法的基础，通过权函数构建节点周围的插值函数，确保在计算域内的连续性和可导性。这种方法允许在不划分单元的情况下建立全计算域的近似解，简化了建模过程。而无单元伽辽金法则是在这一基础上，依据变分原理推导出无单元平衡方程，只考虑节点信息，使得求解过程更为简洁。 非线性有限元法(Numerical Nonlinear Elastic Finite Element Method)则是通过在有限单元框架内处理非线性本构关系，通常采用连续可导的插值函数，并基于最小位能原理推导平衡方程。这种方法在处理材料非线性、几何非线性等问题时具有一定的灵活性。 马连军的论文中，不仅详细阐述了这两种方法的基本理论，还实现了相应的三维无单元伽辽金法和非线性弹性有限元法的程序。通过悬臂梁算例的分析，对比了两种方法的计算结果与理论值，进一步验证了无单元法在特定情况下可能优于有限元法的计算精度。 无单元法特别是无单元伽辽金法，以其独特的网格自由性质和高精度，为解决工程中的复杂问题提供了新的思路，是对有限元法的有力补充。随着科研的深入，无单元法有望在更多领域发挥重要作用，推动数值计算技术的发展。