数值分析课后答案解析：误差、插值法与数值积分

"《数值分析》第四版答案包含课后习题的全面解答，主要涉及数值分析的基础概念，如误差理论、插值法、函数逼近和数值积分与微分。作者为李庆扬，答案以PDF文档形式呈现。" 1. **误差理论** - 相对误差：在数值计算中，当我们说一个数x的相对误差为δ，意味着实际误差是x与近似值之间的差异，且这个差异与x的比值为δ。例如，如果x的相对误差为2%，那么实际误差是x的2%。 - 错误传播：计算xn时，如果x的相对误差为2%，xn的相对误差可以通过误差传播定律来计算，通常是成比例地增加。 - 有效数字：表示数值精度的概念，例如，1.1021有四位有效数字，0.031有三位有效数字，385.6有三位有效数字，56.430有五位有效数字，7×1.0的有效数字取决于7的精度。 2. **插值法** - 二次插值：在三个数据点(x, f(x))上构建二次多项式，可以用来近似函数f(x)。例如，题目要求在x=1, -1, 2处，f(x)的值分别为0, -3, 4，可以找到对应的二次插值多项式。 - 线性插值与二次插值：用于估算未给定数据点的函数值，例如，对lnx的数据表进行线性和二次插值，计算ln0.54的近似值。 3. **函数逼近** - 数据拟合：通过观测物体的运动数据，可以利用曲线拟合方法，如多项式拟合，来建立运动方程。例如，给定的时间和距离数据，可以求解出物体运动的方程。 - 最小二乘法：在实验数据点(xi, yi)上寻找最佳拟合曲线，例如，通过最小二乘法找到y=a+bx^2的经验公式，使误差平方和最小。 4. **数值积分和数值微分** - 求积公式：构造特定的求积公式，如要求代数精度尽可能高的公式，可以用于近似积分。例如，需要确定一个梯形或Simpson公式来计算给定的积分。 - 梯形公式和Simpson公式：是数值积分的基本方法，它们利用函数在区间上的平均值来估算积分。 这些知识点是数值分析的基础，理解和掌握它们对于解决实际问题，如科学计算、工程应用和数据分析，都是非常关键的。通过这些习题的答案，学习者可以深入理解并练习这些概念。