数论初步：最大公约数与模算术

"扩展问题-数论初步，2005年浙江省队培训，刘汝佳，数论初步，基本概念，进位制，模算术与方程，杂题，整除，约数，倍数，整除性质，素数，合数，算术基本定理，除法，同余，最大公约数，最小公倍数" 在数论的初步阶段，我们首先接触的是基本的概念。整除是数论的基础，指的是一个整数a可以被另一个整数b整除，记作a | b，意味着存在整数c使得a = bc。整除具有几个重要的性质：如果a | b和a | c，那么a | (b + c)；对于所有整数c，如果a | b，则a | bc；如果a | b且b | c，那么a | c。这些性质揭示了整除关系的封闭性和传递性。 素数是数论中的核心概念，大于1且只有1和自身两个正因子的整数称为素数。其他大于1的整数称为合数，它们至少有一个小于或等于n√的素因子。算术基本定理是数论的基石，它表明每个正整数都能唯一地分解为素数的乘积，这通常被称为惟一分解定理。 除法和同余的概念在数论中至关重要。对于整数a和正整数d，存在唯一整数q和r（0 ≤ r < d），使得a = dq + r，其中q是商，r是余数。如果两个数a和b除以c的余数相同，我们说a和b关于模c同余，记作a ≡ b (mod c)。同余允许我们在计算时简化问题，特别是在处理大数时。 最大公约数(gcd)和最小公倍数(lcm)是数论中的重要工具。gcd(a, b)是能同时整除a和b的最大整数，而lcm(a, b)是最小的整数，既能被a整除也能被b整除。这两个量之间存在着基本的关系：ab = gcd(a, b) * lcm(a, b)，这可以通过素因数分解证明。在寻找最大公约数时，欧几里得算法（描述中的递归函数）是一种有效的方法。 数论初步还包括进位制和模算术，进位制是数字系统的基础，例如十进制、二进制等。模算术则涉及到在模意义下的运算，如模加、模减、模乘。在处理模算术问题时，同余的概念尤为重要。 此外，数论中还有许多其他主题，如中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理等，这些都是更深入研究的基础。数论的应用广泛，包括密码学、编码理论、计算机科学等领域。理解这些基本概念和定理是进一步探索数论世界的关键。