基2时间抽取FFT算法：计算速度对比与代码实现

在本次数字信号与图像处理的第一次上机作业中，要求学生编写基2时间抽取快速傅里叶变换（FFT）算法程序来计算两个给定序列的线性卷积。该作业的核心知识点包括： 1. **快速傅里叶变换基础**: 傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的重要数学工具，它能够有效地处理周期性和离散信号。基2时间抽取FFT利用了傅里叶变换的周期性和分治思想，通过将一个N点DFT分解为较小规模的DFT操作，简化计算过程。 2. **基2时间抽取FFT的推导**: FFT的基2时间抽取方法是将序列按照二进制位进行分割，然后递归地应用DFT。具体步骤如下： - 将序列分为奇数和偶数部分，对每部分分别进行DFT。 - 当序列长度为2的幂时，DFT可以进一步分解为两个长度为N/2的DFT的组合。 - 重复此过程，直到每个子序列长度为1，形成递归结构。 3. **算法流程**: 在MATLAB的源代码中，DIT-FFT算法通过`myditfft`函数实现，该函数首先计算输入序列的最长2的幂次长度，然后通过“蝶形”（ butterfly）运算进行分解，每次循环中涉及旋转因子（u）、基本DFT因子（WN）以及碟形运算（涉及到乘法和加法项）。 4. **实例计算**: 学生需要编写一个线性卷积程序，使用输入的两个序列`x1`和`x2`，计算它们的卷积。这里，`x1(t)`和`x2(t)`分别表示两个序列，例如`x1`包含`t-1`和余弦函数，`x2`包含平方根函数。通过循环计算不同频域点的卷积，最后累加得到完整的卷积结果。 5. **性能比较**: 作业要求对比基2时间抽取FFT与传统的卷积定义法在计算速度上的差异。通过使用FFT，可以在较短的时间内完成大量数据的处理，特别是在序列长度较大时，其效率优势明显。 总结来说，本次作业的核心内容是让学生理解并实践基2时间抽取FFT算法，掌握其实现过程，并将其应用于实际问题，如计算线性卷积，同时通过对比计算速度，体验FFT在处理数字信号时的高效性能。