FFT算法详解：从DFT到基-2FFT

"FFT理论解析1" 离散傅立叶变换（DFT）是数字信号处理中的核心工具，用于分析信号的频域特性。然而，直接使用DFT算法进行计算会面临计算量大、效率低的问题，特别是在嵌入式系统中，由于对浮点运算支持有限，这种问题更为突出。快速傅立叶变换（FFT）正是为了解决这个问题而提出的，它是一种优化的DFT计算方法，大大减少了所需的计算量。 DFT计算公式为： 其中，x(n)代表输入的离散数字信号序列，WN是旋转因子，N是序列长度，X(k)是对应频率点的幅度。旋转因子WN具有以下特性： 1. 对称性：WN^(-n) = WN^(N-n) 2. 周期性：WN^(n+N) = WN^n 3. 可约性：对于2的幂次N，WN可以简化为一个实数或纯虚数。 这些特性使得WN在FFT算法中起到关键作用，能有效地减少计算复杂度。 基-2 FFT算法，也称为Cooley-Tukey算法，是FFT中最常见的一种形式，尤其适用于序列点数N为2的幂的情况。首先，将序列x(n)分为两半，奇数部分x1(r)和偶数部分x2(r)。通过DFT公式，可以将N点DFT转化为两个N/2点的DFT加上一个蝶形运算： 当k在0到N/2-1范围内，我们处理的是低频部分，而k在N/2到N-1范围时处理的是高频部分。在这个过程中，每个蝶形运算包括一次复数乘法和一次复数加法，大大降低了计算量。 在嵌入式系统中，通常需要将浮点运算转换为定点运算，因为定点运算更适合硬件实现，并且功耗较低。转换过程中需要注意精度损失、溢出和量化噪声等问题。定点运算的实现通常需要精心设计的数据类型和运算规则，以确保在有限精度下保持结果的准确性。 FFT通过巧妙的数据重组和利用旋转因子的特性，将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，使得大规模数据的频域分析成为可能，尤其在嵌入式系统中有着广泛的应用。理解并掌握FFT算法及其优化对于数字信号处理和相关领域的工程师来说至关重要。