Python实现高斯判别分析实例：多元正态分布与参数估计

本文将详细介绍如何在Python中实现高斯判别分析（Gaussian Discriminant Analysis, GDA）算法，这是一项用于解决多元分类问题的统计方法，特别是在输入特征是连续随机变量的情况下。GDA基于高斯分布假设，即每个类别对应的样本分布遵循多元正态分布，其参数包括均值向量μ和协方差矩阵∑。 首先，我们需要理解高斯分布的基本概念。多元正态分布由两个参数构成：均值向量μ，它表示数据点的中心位置；协方差矩阵∑，描述了不同特征间的关系，其对角线元素代表各特征的方差，非对角线元素则衡量特征间的相关性。协方差矩阵越大，数据点的分布越分散；反之，数据点更集中。 在GDA中，我们假设每个类别的观测值X给定类别y后，服从类条件概率p(x|y)的多元正态分布。算法的目标是估计这些参数，以便根据样本的特征来确定其所属类别。具体来说，我们最大化似然函数L，从而得到参数的估计： 1. **参数估计**： - 对于每个类别c，我们有μc和∑c，它们通过最大化似然函数找到最优解，即： - μc = E[X|Y=c] - ∑c = E[(X-μc)(X-μc)^T | Y=c] 2. **决策规则**： - 通常采用贝叶斯公式进行分类，计算后验概率p(y|x)，选择具有最高后验概率的类别作为预测结果。 3. **Python实现示例**： - 文章提供了实际的Python代码演示，展示了如何使用scikit-learn库中的`GaussianClassifier`来构建和训练GDA模型。通过实例，读者可以看到如何处理数据、拟合模型以及进行预测。 在实践中，GDA特别适用于特征之间存在线性关系或者数据维度较高的情况下，因为其假设所有类别的数据都遵循同一种类型的正态分布。然而，如果数据不符合这些假设，例如存在非线性关系或离群值，可能需要考虑使用其他更为复杂的模型。 总结，本文提供了Python实现高斯判别分析算法的详细步骤和代码示例，帮助读者理解和应用这一经典的统计学习方法来解决实际的分类问题。同时，理解协方差矩阵如何影响数据分布的形状，是理解GDA工作原理的关键。