数值分析实验：病态问题与扰动敏感性分析

"数值分析实验程序及分析涉及的是数值计算中的关键概念，包括误差分析、插值和函数逼近。实验以Matlab为工具，通过实际操作来理解和研究这些问题。其中，一个具体的实验案例是关于病态问题的探讨，旨在理解数值解对微小扰动的敏感性。" 在数值分析中，"病态问题"是一个重要的主题。它指的是那些对计算中的微小误差极其敏感的问题，即即使输入数据仅有极小的变化，也可能导致计算结果的巨大差异。这种问题在实际计算中尤为棘手，因为计算机处理数据时总会引入一定的误差。实验1.1通过求解一个高次多项式方程来演示这一概念。方程(E.1.1)是一个具有20个简单根的多项式，而(E.1.2)则是其经过微小扰动后的形式。实验要求用户指定扰动项的位置（在x19的系数上）以及扰动的大小（一个非常小的数ε），然后比较两个方程解的差异。 实验的源程序`functiont_charpt1_1`使用了Matlab语言，接收用户输入的扰动位置和大小，然后利用`poly`函数构建被扰动的多项式，并通过`roots`函数求解新的根。计算出的根以复数形式表示，用`plot`函数绘制在复平面上，同时将结果以文本形式显示。实验结果分析部分展示了当对x19项施加不同大小的扰动时，多项式根的变化情况，强调了数值解的敏感性。 这个实验不仅让学生直观地体验到病态问题的存在，还教育他们在实际计算中如何识别和处理这类问题。通过Matlab编程，学生可以更深入地理解数值方法的稳定性和误差传播，这对于未来进行数值模拟和数据分析至关重要。此外，实验也提醒我们，在设计和选择算法时，要考虑问题的特性，避免或减轻病态问题的影响，以提高计算的准确性和可靠性。