核回归与Nadaraya-Watson：非参数回归的Kernel技巧

"特征空间中的岭回归是一种使用核方法进行非参数回归的技术，它通过核函数将数据映射到高维空间，以便在原始数据可能不具备线性可分性的情况下进行有效的建模。核回归，特别是Nadaraya-Watson核回归，是这种技术的一个例子。核方法的核心在于核技巧，它允许我们用内积的方式处理高维空间的数据而无需直接计算这些空间的坐标。正则化理论在此起着关键作用，通过控制模型复杂度来防止过拟合。" 1. 核回归 核回归是统计学中的一种方法，用于处理非线性关系的数据。它通过引入核函数，如高斯核（高斯核也称为径向基函数，RBF），将数据从原始特征空间转换到一个可能非常高的特征空间，使得在新的空间中原本难以用线性模型表示的关系变得容易建模。核回归的实现通常采用Nadaraya-Watson核回归模型。 2. Nadaraya-Watson核回归 Nadaraya-Watson核回归是一种非参数回归方法，它不预先设定因变量与自变量之间的具体函数形式。该方法通过对每个训练样本赋予一个权重，这个权重由核函数决定，来估计目标变量的期望值。权重的大小取决于样本点与新预测点之间的距离，通常这个距离是通过核函数的带宽参数控制的。核函数的选择会影响模型的性能，常见的有高斯核、多项式核等。 3. 核技巧（Kernel Trick） 核技巧是核方法的核心，它使得我们可以用内积的形式在原始特征空间之外的“隐含”特征空间中进行计算，而无需知道这个空间的具体坐标。这样可以避免了直接计算高维空间中的向量操作，大大减少了计算复杂性。 4. 正则化理论 在核回归中，正则化是一个重要的概念，它通过添加一个惩罚项来限制模型的复杂度，防止过拟合。在岭回归中，正则化参数（例如Ridge Regression中的λ）决定了模型对偏差和方差之间的权衡，控制模型的泛化能力。 5. 应用场景 核回归在各种领域都有应用，包括机器学习中的分类和回归问题，特别是在数据非线性关系复杂，且样本量较小的情况下，如生物信息学、金融预测、图像识别等领域。 总结来说，特征空间中的岭回归是一种利用核方法在非线性情况下进行回归分析的技术，通过核函数实现数据的非线性变换，并通过正则化控制模型的复杂度。Nadaraya-Watson核回归是这种思想的一个实例，它依赖于核函数的选取和带宽参数来适应不同的数据模式，提供了一种强大的非参数建模工具。