回归模型诊断与MATLAB应用

"回归模型的诊断是数据分析中的关键步骤，特别是在MATLAB环境中进行回归分析时。这一部分主要讨论了如何通过残差和其他诊断方法评估回归模型的适用性。" 回归模型的诊断是确保模型准确性和可靠性的必要过程。在构建了回归模型后，必须对其性能进行检查，以验证它是否能足够精确地近似真实的模型关系，并确认最小二乘回归的假设是否成立。如果模型不合适，可能会导致错误或误导性的预测结果。 10.7.1 尺度残差和PRESS是常用的诊断工具： 1. **标准化残差** 是一种尺度残差类型，通过公式 (10.43) 计算，即 di = (yi - ŷi) / σ，其中 σ 是残差的标准差。这种标准化使得残差的均值接近零，方差大约为1，便于识别异常值。如果标准化残差超出-3σ至3σ的范围，可能表明观测值存在异常，需要进一步调查，这可能是输入错误，也可能是模型在某些特定条件下无法良好拟合数据。 2. **学生化残差** 是另一种尺度残差形式，考虑了残差的方差变化。在某些情况下，残差的标准差在不同的观测值之间可能存在显著差异，这时使用学生化残差更有意义。 3. **"帽子"矩阵** H = X(X'X)^(-1)X' 在回归分析中具有重要地位。它将观测值向量转换为拟合值向量，帮助理解每个观测值如何受模型的影响。 4. **PRESS（预测残差平方和）** 是用于模型评估的统计量，它估计了如果一个观测值被排除后，模型对该观测值的预测误差的平方和。PRESS值的大小可以反映模型的预测能力。 在进行回归分析时，利用这些诊断方法可以帮助我们识别模型中的问题，比如多重共线性、异方差性、自相关性等。例如，残差图可以揭示残差是否随机分布，是否存在趋势或者结构，从而判断模型的线性假设是否合理。此外，还需要检查残差与回归变量之间的关系，以确认是否存在未捕获的依赖性。 推荐的参考书籍《实验设计与分析》(Design and Analysis of Experiments) 提供了更多关于实验设计和回归模型诊断的深入理论和实践应用。该书被广泛采用，并被工程和科学领域的专业人士推崇，其特色包括结合实际案例和软件输出的解释，以及丰富的补充材料，便于读者深入学习统计方法在产品开发和过程优化中的应用。