信号与系统公式精华概览

"信号与系统公式总结" 在信号与系统的学习中，掌握关键公式是至关重要的。这份资料总结了考研和平时考试中常见的信号与系统相关的公式，涵盖了冲激函数、系统线性时不变性等多个核心概念。 首先，冲激函数δ(t)是信号分析中的基础元素，具有以下性质： 1. δ(t)在t=0处的值为无穷大，但其积分等于1，即 ∫(-∞ to ∞) δ(t) dt = 1。 2. 冲激函数的偶对称性质：δ(-t) = δ(t)。 3. 冲激函数的延迟性质：δ(t - t0) = δ(t) * δ(t0)。 4. 冲激函数的卷积特性：f(t) * δ(t) = f(t)，其中f(t)为任意函数。 冲激函数δ(t)的这些性质在处理信号的瞬时响应和计算系统特性时非常有用。 接着，我们讨论线性时不变系统（LTI）。一个系统是线性的，如果输出与输入成比例，且系统的线性组合也遵循此比例关系。系统是时不变的，如果输入信号延迟一个时间τ后通过系统，输出也将相应地延迟τ，而形状保持不变。线性时不变系统的特征可以通过零输入响应（ZIR）和零状态响应（ZSR）来描述，满足叠加原理和齐次性。 对于线性系统的卷积特性，若已知系统对单位阶跃函数的响应h(t)，则系统对任意输入f(t)的响应y(t)可以通过卷积运算得出： y(t) = f(t) * h(t) = ∫(-∞ to ∞) f(τ) h(t - τ) dτ。 在判断系统是否为LTI时，通常会用到Z变换或拉普拉斯变换。例如，如果系统的Z变换Z(s)满足： Z(s) = H(s) * F(s)，其中H(s)是系统的传递函数，F(s)是输入信号的Z变换，那么系统就是线性时不变的。 此外，系统稳定性是LTI系统的一个重要属性。巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）和椭圆（Elliptic）滤波器等是设计稳定滤波器的常用方法，它们分别以频率响应的平坦度、衰减速度和相位失真作为优化目标。 这个公式总结提供了信号与系统学科的关键信息，对于理解冲激函数、线性时不变系统、系统稳定性以及滤波器设计等核心概念非常有帮助，是考研和日常学习的重要参考资料。通过深入理解和熟练应用这些公式，可以有效提升解决实际问题的能力。