楼天成的算法难题解析：连通图、石子合并与哈密顿路径

"这篇资源主要讨论了算法领域的若干难题，由知名算法专家楼天成设计。这些题目具有较高的难度，适合挑战和提升算法能力。文章提到了几个具体的算法问题及解题策略，包括ConnectedGraph、AnoldStoneGame和Tony'sTour，并提供了多种解法和优化技巧。" 本文涉及的算法知识点： 1. **ConnectedGraph** - 这是一个计数问题，目标是计算给定数量顶点的连通图的个数。解题策略包括动态规划(DP)。方法一是通过记忆化搜索计算S[x,y]，表示x个点连通团和y个孤立点的组合数，但这种方法的时间复杂度较高，为O(N^3*高精度)。方法二是通过计算G[N]，即2^(N*(N-1)/2)减去F[N]，枚举与第一个点连接的点数，时间复杂度为O(N^2*高精度)。 2. **AnoldStoneGame** - 这是一个经典的石子合并问题，要求在每次合并代价为两堆石子数之和的情况下，找到总代价的最小值。文章指出，简单的贪心策略可能无效，并提出了两种解决方案。方法一是基于“圆方贪心”，开始视为N个圆，每次合并两个最小的相邻非圆形石子，然后合并所有的方形石子，可以使用WinnerTree来加速。对于合并相邻方，文章列举了不同数据结构的实现，包括fib堆、二项堆、左偏树和普通堆+启发式合并，比较了它们的编程复杂度和运行效率。方法二是Knuth的方法，从左到右扫描，遇到满足条件的石子堆进行合并。 3. **Tony'sTour** - 这是一道寻找哈密尔顿路径的问题，即从左下角到右下角的路径，且路径经过图中的所有顶点恰好一次。由于搜索方法难以通过，因此建议使用动态规划(DP)来解决。这与HNOI04-Day1的一道题目类似。 以上是算法难题的解析，这些题目和解法不仅测试了算法设计和实现的能力，还涉及到高级数据结构的选择和优化技巧的应用，对于提高算法水平和解决复杂问题有着重要的学习价值。