素朴集合论：基础与直观解析

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可以进一步推广，考虑更多的集合的“交”和“并”，考虑一

个集合族的所有的集合的“交”和“并”。

1.5.6 定义集合族的交集合族Γ中所有集合的公共元素组

成的集合称为集合族Γ的交，记为

∩

Γ。属于

∩

Γ的元素恰好是属

于Γ中每个集合的元素，所以：

x∈

∩

Γ当且仅当(任给 X∈Γ，都有 x∈X)，

也就是

∩

Γ = {x |任给 X∈Γ，都有 x∈X}。

如果 x 不属于

∩

Γ，则 x 不属于Γ中的某个集合。反之如果 x

不属于Γ中的某个集合，则 x 不属于

∩

Γ。所以：

x∉

∩

Γ当且仅当(存在 X∈Γ，使得 x∉X)。

1.5.7 定义集合族的并集合族Γ中所有集合的所有元素组

成的集合称为集合族Γ的并，记为

∪

Γ。属于

∪

Γ的元素总是属于Γ

中的某个集合，所以：

x∈

∪

Γ当且仅当(存在 X∈Γ，使得 x∈X)，

也就是

∪

Γ = {x |存在 X∈Γ，使得 x∈X }。

如果 x 不属于

∪

Γ，则 x 不属于Γ中的每个集合。反之如果 x

不属于Γ中的每个集合，则 x 不属于

∪

Γ。所以：

x∉

∪

Γ当且仅当(任给 X∉Γ，都有 x∉X)。

如果Γ = {A, B}，则

∩

Γ = A∩B，

∪

Γ = A∪B，所以两个集合

的交和并是集合族的交和并的特例。注意虽然两个集合的交和并

是集合族的交和并的特例，但它们的意思稍有差别。两个集合的

交确是这两个集合的“交”，但集合族的交并不是这个集合族的

“交”，而是这个集合族中所有集合的“交”。两个集合的并和集

合族的并也有类似的差别。

下面是集合族的交和并的几个例子。

1.5.8 例 Γ = {{0, 1, 2}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}}，则

∩

Γ = {2}，

∪

Γ = {0, 1, 2, 3, 4}。

1.5.9 例对于例 1.5.5 中的Γ，有

∪

Γ = 多边形的集合。对于

例 1.5.3 中的Γ

和Γ

，有

∩

= {0}，

∪

= R。

由集合族的交和并的定义可知：任给 X∈Γ，都有

∩

Γ ⊆ X 和

X ⊆

∪

Γ。这就是说，Γ中每个集合都是

∪

Γ的子集，

∩

Γ是Γ中每

个集合的子集，它们是定理 1.3.7(1)(2)的推广。定理 1.3.8 也可以

推广到集合族。

1.5.10 定理 Γ和Σ是集合族。

(1) 如果任给 X∈Γ，存在 Y∈Σ，使得 X ⊆ Y，则

∪

Γ ⊆

∪

Σ。

(2) 如果任给 X∈Γ，存在 Y∈Σ，使得 Y ⊆ X，则

∩

Σ ⊆

∩

Γ。

证 (1) 任给 x，如果 x∈

∪

Γ，则

存在 X∈Γ，使得 x∈X，

对于这个 X，由条件得

存在 Y∈Σ，使得 X ⊆ Y，

由 x∈X 和 X ⊆ Y 得 x∈Y，所以

存在 Y∈Σ，使得 x∈Y，

由集合族的并的定义得

x∈

∪

Σ。

因此

∪

Γ ⊆

∪

Σ。

(2) 任给 x，如果 x∈

∩

Σ，则

任给 Y∈Σ，都有 x∈Y，

任给 X∈Γ，由条件得

存在 Y∈Σ，使得 Y ⊆ X，

由 x∈Y 和 Y ⊆ X 得 x∈X，所以

任给 X∈Γ，都有 x∈X，

由集合族的交的定义得

x∈

∩

Γ。

因此

∩

Σ ⊆

∩

Γ。

■

在定理 1.5.10 中取Σ = {A}，则

∪

Σ =

∩

Σ = A，因此有

(1) 如果任给 X∈Γ，都有 X ⊆ A，则

∪

Γ ⊆ A。

(2) 如果任给 X∈Γ，都有 A ⊆ X，则 A ⊆

∩

Γ。

它们是定理 1.3.7(3)(4)的推广。

设 I 是一个非空集合，如果任给 i∈I，A

是集合，则{A

| i∈I}

是集合族，I 称为这个集合族的指标集。Γ本身是一个非空集合，

令 I =

Γ，任给 i∈I，令 A

= i，则Γ = {A

| i∈I}，所以每个集合族都

可以用指标集 I 将其表示为{A

| i∈I}。当然同一个集合族可以用不

同的指标集来表示。

讨论集合族时，经常使用指标集的形式，对于具体的集合族

往往用一些比较熟悉的集合作指标集，如例 1.5.3 中的Γ

和Γ

分别

用 N 和 Z 作指标集，例 1.5.4 中Γ(N)和Γ(Q)分别用 N 和 R 作指标

集。用指标集来叙述和证明集合族的性质比较清晰。

如果Γ = {A

| i∈I}，则可以用

∩

i∈I

和

∪

i∈I

分别表示

∩

Γ和

∪

Γ。在这种表示下有：

x∈

∩

i∈I

当且仅当(任给 i∈I，都有 x∈A

)，

x∈

∪

i∈I

当且仅当(存在 i∈I，使得 x∈A

)，

当 I = N

＼

时，常常将

∩

i∈I

和

∪

i∈I

分别记为

∩

≥

和

∪

≥

，特别地，当 I = N = N

＼

时，分别记为

∩

≥

和

∪

≥

。

当 I = N

n+1

时，常常将

∩

i∈I

和

∪

i∈I

分别记为

∩

≤

和

∪

≤

，

也可记为

∩

和

∪

，还可更直观地记为 A

∩…∩A

和

∪…∪A

。

以下用指标集的形式来叙述和证明集合族的结合律、分配律

和 De-Morgan 律。

1.5.11 定理

(1) (

∪

i∈I

)∪(

∪

j∈J

) =

∪

∪B

| i∈I 且 j∈J}。

(2) (

∩

i∈I

)∩(

∩

j∈J

) =

∩

∩B

| i∈I 且 j∈J}。

(3) (

∪

i∈I

)∩(

∪

j∈J

) =

∪

∩B

| i∈I 且 j∈J}。

(4) (

∩

i∈I

)∪(

∩

j∈J

) =

∩

∪B

| i∈I 且 j∈J}。

(5) A

＼

∩

i∈I

∪

＼

| i∈I}。

(6) A

＼

∪

i∈I

∩

＼

| i∈I}。

证 (1) 任给 x，如果 x∈

∪

∪B

| i∈I 且 j∈J}，则

存在 i∈I，存在 j∈J，使得 x∈A

∪B

，

当 x∈A

时，有 x∈

∪

i∈I

，当 x∈B

时，有 x∈

∪

j∈J

，所以

x∈(

∪

i∈I

)∪(

∪

j∈J

)。

因此

∪

∪B

| i∈I 且 j∈J} ⊆ (

∪

i∈I

)∪(

∪

j∈J

)。

任给 A

∈{A

| i∈I}，存在 A

∪B

∈{A

∪B

| i∈I 且 j∈J}，使得

⊆ A

∪B

，由定理 1.5.10(3)得

∪

| i∈I} ⊆

∪

∪B

| i∈I 且 j∈J}，

即

∪

i∈I

⊆

∪

∪B

| i∈I 且 j∈J}，

类似地可得

∪

j∈J

⊆

∪

∪B

| i∈I 且 j∈J}。

因此(

∪

i∈I

)∪(

∪

j∈J

) =

∪

∪B

| i∈I 且 j∈J}。

(2) 任给 x，如果 x∈(

∩

i∈I

)∩(

∩

j∈J

)，则

x∈

∩

i∈I

且 x∈

∩

j∈J

，

所以

任给 i∈I，任给 j∈J，都有 x∈A

且 x∈B

，

所以

任给 A

∩B

∈{A

∩B

| i∈I 且 j∈J}，都有 x∈ A

∩B

，

所以

x∈

∩

∩B

| i∈I 且 j∈J}。

因此(

∩

i∈I

)∩(

∩

j∈J

) ⊆

∩

∩B

| i∈I 且 j∈J}。

任给 A

∈{A

| i∈I}，存在 A

∩B

∈{A

∩B

| i∈I 且 j∈J}，使得

∩B

⊆ A

，由定理 1.5.10(4)得

∩

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆

∩

| i∈I}，

即

∩

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆

∩

i∈I

，

类似地可得

∩

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆

∩

j∈J

。

因此

∩

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆ (

∩

i∈I

)∩(

∩

j∈J

)。

(3) 任给 x，如果 x∈(

∪

i∈I

)∩(

∪

j∈J

)，则

x∈

∪

i∈I

且 x∈

∪

j∈J

，

所以

存在 i∈I，存在 j∈J，使得 x∈A

且 x∈B

，

所以

存在 A

∩B

∈{A

∩B

| i∈I 且 j∈J}，使得 x∈A

∩B

，

所以

x∈

∪

∩B

| i∈I 且 j∈J}。

因此(

∪

i∈I

)∩(

∪

j∈J

) ⊆

∪

∩B

| i∈I 且 j∈J}。

任给 A

∩B

∈{A

∩B

| i∈I 且 j∈J}，存在 A

∈{A

| i∈I}，使得

∩B

⊆ A

，由定理 1.5.10(3)得

∪

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆

∪

| i∈I}，

即

∪

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆

∪

i∈I

，

类似地可得

∪

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆

∪

j∈J

。

因此

∪

∩B

| i∈I 且 j∈J} ⊆ (

∪

i∈I

)∩(

∪

j∈J

)。

(4) 任给 x，如果 x∉(

∩

i∈I

)∪(

∩

j∈J

)，则

x∉

∩

i∈I

且 x∉

∩

j∈J

，

所以

存在 i∈I，存在 j∈J，使得 x∉A

且 x∉B

，

所以

存在 A

∪B

∈{A

∪B

| i∈I 且 j∈J}，使得 x∉A

∪B

，

所以

x∉

∩

∪B

| i∈I 且 j∈J}。

因此

∩

∪B

| i∈I 且 j∈J} ⊆ (

∩

i∈I

)∪(

∩

j∈J

)。

任给 A

∪B

∈{A

∪B

| i∈I 且 j∈J}，存在 A

∈{A

| i∈I}，使得

⊆ A

∪B

，由定理 1.5.10(4)得

∩

| i∈I} ⊆

∩

∪B

| i∈I 且 j∈J}，

即

∩

i∈I

⊆

∩

∪B

| i∈I 且 j∈J}，

类似地可得

∩

j∈J

⊆

∩

∪B

| i∈I 且 j∈J}。

因此(

∩

i∈I

)∪(

∩

j∈J

) ⊆

∩

∪B

| i∈I 且 j∈J}。

(5) 任给 x，如果 x∈A

＼

∩

i∈I

，则

x∈A 且 x∉

∩

i∈I

，

由 x∉

∩

i∈I

得

存在 i∈I，使得 x∉A

，

所以

存在 i∈I，使得 x∈A

＼

，

所以

x∈

∪

＼

| i∈I}。

因此 A

＼

∩

i∈I

⊆

∪

＼

| i∈I}。

任给 i∈I，都有

∩

i∈I

⊆ A

，所以

任给 i∈I，都有 A

＼

⊆ A

＼

∩

i∈I

。

因此

∪

＼

| i∈I} ⊆ A

＼

∩

i∈I

。

(6) 任给 x，如果 x∈

∩

＼

| i∈I}，则

任给 i∈I，都有 x∈A

＼

，

所以

x∈A 且任给 i∈I，都有 x∉A

，

所以

x∈A 且 x∉

∪

i∈I

A，

所以

x∈A

＼

∪

i∈I

。

因此

∩

＼

| i∈I} ⊆ A

＼

∪

i∈I

。

任给 i∈I，都有 A

⊆

∪

i∈I

，所以

任给 i∈I，都有 A

＼

∪

i∈I

⊆ A

＼

。

因此 A

＼

∪

i∈I

∩

＼

| i∈I}。

■

有三种重要类型的集合族。

1.5.12 定义单调 Γ是集合族，如果

任给 X, Y∈Γ，都有 X ⊆ Y 或 Y ⊆ X，

则称Γ是单调的集合族，简称Γ是单调的。

例 1.5.4 中的Γ(N)和Γ(Q)都是单调的(见例 1.2.4 和习题 1.2.2)，

例 1.5.3 中的Γ

是单调的。

1.5.13 定义不交 Γ是集合族，如果Γ满足：

任给 X, Y∈

Γ，只要 X ≠ Y，就有 X∩Y = ∅，

则称Γ是不交的集合族，简称Γ是不交的，也称Γ中的集合两两不

交。当Γ = {A

,…, A

}时，也称 A

,…, A

两两不交。

如例 1.5.2 中的集合族，例 1.5.3 中的Γ

和例 1.5.5 中的Γ都是

不交的。

1.5.14 定义子集族如果Γ中的每个集合都是集合 A 的子

集。则称Γ是 A 的子集族。因为 A 的所有子集的集合是幂集 P(A)，

所以Γ是 A 的子集族当且仅当Γ ⊆ P(A)。

例 1.5.3 中，Γ

和Γ

都是 R 的子集族。例 1.5.4 中，Γ(N)是 N

的子集族，Γ(Q)是 Q 的子集族。

显然，如果Γ是 B 的子集族且 B ⊆ A，则Γ也是 A 的子集族。

又因为Γ中的每个集合都是

∪

Γ的子集，所以任何集合族都是

∪

的子集族，也总是满足

∪

Γ ⊆ A 的集合 A 的子集族。

我们一般用 a, b, c, x, y, z 等表示元素，用 A, B, C, X, Y, Z 等表

示集合，用Σ, Γ, Φ, Ψ等表示集合族。为了清楚起见，以后尽量这

样表示，但需要时可以不受这个限制，任何符号都能用来表示集

合和元素，只要将它们之间的属于关系刻画清楚就可以了。

习题 1.5

1.5.1 证明：如果任给 i∈I，都有 B

⊆ A

，则

∪

i∈I

⊆

∪

i∈I

，

∩

i∈I

⊆

∩

i∈I

。

1.5.2 求

∩

Γ和

∪

Γ。

(1) Γ = {{0,1,2,4}, {1,3,4,5}, {0,2,4,5}}。

(2) Γ = {(

−x, x] | x∈R 且 x>0}。

(3) Γ = {A

| a∈R 且 a>0}，其中

= {<x, y> | <x, y>∈R

R 且−a+y≤x≤a+y}。

1.5.3 证明：

(1) (

∪

i∈I

)∪(

∪

i∈I

) =

∪

i∈I

∪B

)。

(2) (

∩

i∈I

)∩(

∩

i∈I

) =

∩

i∈I

∩B

)。

(3) A∪(

∩

i∈I

) =

∩

i∈I

(A∪A

)。

(4) A∩(

∪

i∈I

) =

∪

i∈I

(A∩A

)。

1.5.4 指出下列集合族哪些是单调的，哪些是不交的。

(1) {金鱼，鱼，动物，生物}，

(2) {三角形，正方形，多边形}。

(3) {(0, x] | x∈N 且 x>0}，

(4) {(0,3), (1,4), (2,5)}，

(5) {{0,3}, {1,4}, {2,5}}。

1.5.5 证明：如果Γ是单调的，则任给 x, y∈

∪

Γ，存在 X∈Γ，

使得 x, y∈X。

1.5.6 Γ= {A

| i∈N}，任给 n∈N，令

∩

≤

，C

∪

≤

。

证明：

(1) {B

| i∈N}和{C

| i∈N}都是单调的。

(2)

∩

≥

∩

≥

，

∪

≥

∪

≥

。

1.5.7 什么样的集合族既是单调又是不交的？

1.6 卡氏积

由两个元素 a, b 组成的集合{a, b}中，a 和 b 是没有次序的。

有时我们需要考虑有次序的两个元素，所以我们需要由两个元素

组成新的东西，其中两个元素是有次序的。

1.6.1 定义有序对两个元素 a, b 有次序地放在一起，称为

一个有序对，记为<a, b>。规定

, b

> = <a

, b

>当且仅当 a

= a

且 b

= b

。

这样当 a ≠ b 时，就有<a, b> ≠ <b, a>。所以有序对相等的定义刻

画了有序对中两个元素的次序。

在有序对<a, b>中，a 称为第一元素，b 称为第二元素。

有序对可以作为集合的元素，一般的以有序对为元素的集合

以后再讨论，这里只考虑一种特殊的有序对的集合。

1.6.2 定义卡氏积 A, B 是两个集合，集合

{<x, y> | x∈A 且 y∈B}

称为 A 和 B 的卡氏积，记为 A

B (图 1.6.1)。用属于关系来表示

就是：

<x, y>∈A

B 当且仅当 x∈A 且 y∈B

和

<x, y>∉A

B 当且仅当 x∉A 或 y∉B。

A A

图 1.6.1

在卡氏积 A

B 中，A 称为第一集合，B 称为第二集合。

由卡氏积的定义可知有 A

∅ = ∅

A = ∅。又由有序对的性

质可知，一般没有 A

B = B

A。A

B 也是一个集合，所以可以

和另一集合 C 作卡氏积(A

C，类似地有 A

C)。注意，

一般没有(A

C = A

C)。

虽然卡氏积也是由两个集合形成新集合，但和集合的运算不

同。A∪B, A∩B 和 A

＼

B 中的元素还是 A 或 B 中的元素，而 A

中元素既不是 A 中的元素，也不是 B 中的元素。

现在讨论卡氏积的性质。

1.6.3 定理如果 B

⊆ A

，B

⊆ A

，则 B

⊆ A

。

证任给<x, y>，如果<x, y>∈B

，则

x∈B

且 y∈B

，

由 B

⊆ A

和 B

⊆ A

得 x∈A

且 y∈A

，所以

<x, y>∈A

。

因此 B

⊆ A

(图 1.6.1)。

■

图 1.6.1

1.6.4 定理 A, B, C 是任意集合。

(1) A

(B∪C) = (A

B)∪(A

C)，

(B∪C)

A = (B

A)∪(C

A)。

(2) A

(B∩C) = (A

B)∩(A

C)，

(B∩C)

A = (B

A)∩(C

A)。

(3) A

＼

C) = (A

＼

C)，

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