哈工大2009秋集合论与图论试题精华：关系性质与结构探究

集合论与图论是数学中的两个重要分支，它们在计算机科学中也有广泛应用。本题集涵盖了集合论和图论的基本概念及问题。让我们逐一解析题目内容： 1. 填空题考察了集合运算和关系的理解。第一题涉及集合的差集运算，若集合B包含于A，且B与A的差集为空集，则B必须等于A本身。第二题询问映射f的逆映射与原映射的关系，如果f与它的逆映射f^-1的复合函数等于A，说明f是单射（一对一映射）。 2. 第三题要求找到集合S={1, 2, 3, 4, 5}上的等价关系R，使其产生特定的划分。这个问题涉及到集合论中的划分概念，即找到满足条件的R，使得元素可以被分为互不相交的子集。 3. 对于实数、整数和自然数集的映射性质，题目要求判断三个映射的单射、满射和双射性。双射意味着每个元素都有唯一的对应，并且映射是双向的。题目给出了f的部分定义，根据这些定义判断它们的性质。 4. 接下来的问题涉及偏序关系，即整除关系在集合A={1, 11, 12, 2, 1}上的应用。极大元是指在偏序关系中没有其他元素比它大的元素，对于整除关系，集合A的极大元是那些不能被其他元素整除的元素。 5. 求解X上对称二元关系的数量，当X的基数为n时，对称关系的数量为n^2-n，因为每对不同的元素可以构成一个对称关系，但排除了自反关系。 6. 题目还考察了图论的基本概念，如二元关系的传递性和对称性，以及正则图的定义。传递性指的是若aRb且bRc，则aRc，而对称性意味着aRb蕴含bRa。正则图是指所有顶点的度数相等，偶图则要求顶点间边的连接是成对的。 7. 最后一个问题关注图的结构特征，当图G是无向图，有12条边，6个3度顶点时，其余顶点的度数小于3，这意味着图的构造有一定的规律，可能涉及到图的连通性和度数分布的计算。 本题集包含了集合论中的集合运算、映射理论、偏序关系和图论的基本概念，如关系性质、极值元素的寻找、图的度数分布及其与性质的关系。这些知识点在实际编程和算法设计中都非常重要，能够帮助理解和解决复杂的数据结构和逻辑问题。