脉冲响应在控制系统中的作用：分析稳定性与性能，掌控系统行为

# 1. 脉冲响应：系统行为的揭示者

脉冲响应是系统对单位脉冲输入的输出响应。它揭示了系统的动态特性，是分析系统稳定性和性能的关键工具。脉冲响应可以直观地展示系统对输入扰动的反应，为系统建模、控制器设计和故障诊断提供了宝贵的洞察。

脉冲响应的形状和特征与系统的固有特性密切相关。稳定系统的脉冲响应最终会衰减到零，而对于不稳定系统，脉冲响应会持续振荡或发散。脉冲响应的瞬态特性，如上升时间、下降时间、超调和稳定时间，则反映了系统的动态性能。

# 2. 稳定性与性能的量化

脉冲响应是系统对单位脉冲输入的输出响应，它全面反映了系统的动态特性，为系统稳定性和性能分析提供了宝贵的依据。

### 2.1 稳定性分析：脉冲响应的渐近行为

#### 2.1.1 稳定系统的脉冲响应

对于稳定的系统，其脉冲响应在时域上会逐渐衰减到零，这意味着系统在受到扰动后能够自行恢复到平衡状态。稳定系统的脉冲响应通常具有以下特征：

- **渐近衰减：**脉冲响应的幅值随着时间的推移而逐渐减小，最终趋于零。
- **无振荡：**脉冲响应中不存在持续性的振荡，系统不会出现不稳定的行为。
- **极点位于负半平面：**系统的极点（特征根）都位于复平面的负半平面，这确保了系统的稳定性。

#### 2.1.2 不稳定系统的脉冲响应

对于不稳定的系统，其脉冲响应会随着时间的推移而发散或持续振荡，表明系统无法自行恢复到平衡状态。不稳定系统的脉冲响应通常具有以下特征：

- **渐近发散：**脉冲响应的幅值随着时间的推移而逐渐增大，系统无法稳定在平衡点附近。
- **持续振荡：**脉冲响应中存在持续性的振荡，系统会持续偏离平衡状态。
- **极点位于正半平面或单位圆上：**系统的极点位于复平面的正半平面或单位圆上，这导致了系统的发散或振荡行为。

### 2.2 性能分析：脉冲响应的瞬态特性

脉冲响应的瞬态特性反映了系统对扰动的响应速度和精度。通过分析脉冲响应的瞬态特性，可以评估系统的性能指标，如上升时间、下降时间、超调和稳定时间。

#### 2.2.1 上升时间和下降时间

上升时间是指脉冲响应从初始值上升到最终值的90%所需的时间，而下降时间是指脉冲响应从峰值下降到最终值的10%所需的时间。上升时间和下降时间反映了系统的响应速度。

#### 2.2.2 超调和稳定时间

超调是指脉冲响应峰值与最终值的差值，而稳定时间是指脉冲响应达到并保持在最终值95%范围内的所需时间。超调和稳定时间反映了系统的响应精度和稳定性。

**示例代码：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义系统传递函数
num = [1]
den = [1, 2, 1]
sys = tf(num, den)

# 计算脉冲响应
t, y = impulse(sys, T=np.linspace(0, 10, 1000))

# 绘制脉冲响应
plt.plot(t, y)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel(