锥度量半连续集值映射的稠密连续性研究

"该文研究了锥度量半连续集值映射的连续性问题，主要探讨了从完备度量空间到正规锥度量空间上的非紧值锥度量半连续集值映射的连续性特性。通过使用第二纲集的方法，证明了非紧值的锥度量上半连续集值映射和下半连续集值映射的连续点集具有稠密剩余性质，这意味着这些映射在Baire纲意义下在大多数点处是连续的。这一结果对于非线性问题解的通有稳定性的研究提供了理论支持。" 本文深入探讨了锥度量半连续集值映射的连续性概念，其中锥度量空间是一种特殊的度量空间，它的距离定义涉及到了锥的概念，即具有正锥性质的向量空间。锥度量空间常常用于处理带有方向或正负信息的数学问题，例如优化问题、经济模型等。 作者首先明确了研究背景，即从一个完备度量空间（一种具有完全性质的度量空间，所有的柯西序列都收敛）出发，映射的目标空间是一个正规锥度量空间，这是一类重要的锥度量空间，满足某些附加的结构条件。接着，文章的重点在于分析非紧值的锥度量半连续集值映射，这里的“非紧值”指的是映射的值域可能不是紧集，即可能包含无限大元素。 通过构造第二纲集（Baire类别理论中的一个重要工具），作者证明了锥度量上半连续集值映射和下半连续集值映射的连续点集合在定义域中是稠密剩余的。稠密剩余集意味着这个集合除了某些孤立的点之外，包含了定义域的所有其他部分，这揭示了映射在“大部分”点处的连续性。这种连续性是Baire纲意义下的连续，它强调的是映射在“几乎处处”或“基本上”连续，而非每个点都连续。 这一结论对于解决非线性问题的稳定性研究有着积极的意义。通常，非线性问题的解的稳定性分析涉及到映射的连续性，而此研究表明，即使映射在某些点不连续，只要满足上述的Baire纲连续性，仍有可能保证解的稳定性和全局性质。因此，这一理论可以作为放宽传统连续性假设的依据，有助于推动非线性问题研究的进一步发展。 关键词：集值映射、锥度量上半连续、锥度量下半连续、通有连续、锥度量空间、正规锥、剩余集、Baire空间，表明本文涵盖了多方面的数学概念，特别是集值映射理论和Baire纲理论的应用。这些理论在现代数学分析、控制理论、优化算法等领域有着广泛的应用。