平面应力问题的有限元网格划分及应力应变计算

资源摘要信息:"有限元分析在工程问题中的应用广泛，特别是在解决连续体问题如平面应力问题时，有限单元法（Finite Element Method，FEM）提供了一种数值解法，它可以将连续体划分为较小的、简单的单元，以便于计算。本资源将详细介绍在平面应力问题中，如何采用有限单元法进行网格划分、节点位移计算以及单元应力应变的分析。 平面应力问题是指物体内部任一点在某一平面内不存在正应力，只存在剪应力的应力状态。在二维结构中，这种问题非常常见，如薄板、薄膜等。由于其维度的简化，平面应力问题较三维问题更易于分析，但即便如此，采用解析方法解决复杂边界条件和材料属性的问题仍然十分困难，因此，有限元方法应运而生。 有限单元法是一种通过将连续体离散化为有限个单元，并在单元上定义节点，通过对节点施加边界条件和载荷，进而推导出整个连续体的近似解答的数值计算方法。有限元模型的建立一般包括以下步骤： 1. 几何模型的建立：首先根据实际问题建立几何模型，确定模型的边界和尺寸。 2. 网格划分：将几何模型划分为有限个单元，对于本资源描述的平面应力问题，使用的是三角形单元。网格划分是有限元分析的关键步骤，它直接影响计算精度和计算效率。网格的划分方式有多种，包括自由网格划分和结构化网格划分等。 3. 单元类型的选择：根据分析的对象和需要求解的物理量选择合适的单元类型。在平面应力问题中，常用的单元类型包括三节点三角形单元、四节点矩形单元等。 4. 材料属性和边界条件的定义：为模型指定材料的物理属性如弹性模量、泊松比等，同时对模型施加必要的边界条件，如固定约束、载荷等。 5. 建立刚度矩阵和载荷向量：通过单元的位移函数和材料属性，建立每个单元的局部刚度矩阵。随后，将所有单元的局部刚度矩阵组装成整个模型的全局刚度矩阵。 6. 应用边界条件并求解线性方程组：将边界条件应用到全局刚度矩阵和载荷向量上，形成最终的线性方程组，并求解该方程组以得到节点位移。 7. 后处理：根据求得的节点位移，计算单元的应力应变。应力应变的计算通常涉及局部坐标系与整体坐标系之间的转换，以及对单元内各点的插值计算。 在使用有限单元法进行平面应力分析时，需要考虑的因素有很多，比如单元的形状、尺寸、数量、网格密度等。三角形单元因为其良好的适应性和灵活性，尤其适合于复杂几何形状的模型划分。此外，还需要注意选择合适的单元积分方法和材料模型，以确保计算结果的准确性和可靠性。 最后，通过有限元分析得到的结果需要经过验证和评估，以确保其满足工程要求。在有限元软件如ANSYS、ABAQUS、FEMAP等中，平面应力分析模块可以帮助工程师快速建立模型、划分网格、施加载荷和边界条件，并进行求解和后处理，以获得精确的应力应变分布结果。 综上所述，有限元方法为工程师提供了分析复杂结构在平面应力状态下的应力应变分布的有效工具，极大地促进了结构工程设计的精确性和可靠性。"