概率论与数理统计：样本点的互不相容与独立事件

"这篇资料是浙江大学概率论与数理统计课程的一部分，涵盖了概率论的基本概念，包括随机试验、样本空间、概率和频率、条件概率以及独立性。此外，还涉及了随机变量及其分布、多维随机变量、数字特征、大数定律、中心极限定理、数理统计的基本概念如参数估计和假设检验，以及方差分析、回归分析、随机过程和马尔可夫链等高级主题。" 在概率论中，"样本点是两两互不相容的"是指样本空间中的每个样本点发生的可能性互不影响，即一个样本点发生不会导致另一个样本点的发生。例如，抛一枚公平的硬币，样本点可以是“正面”或“反面”，这两个事件不能同时发生，所以它们是互不相容的。 随机事件A和B的交集P(AB)表示同时发生A和B的概率，而P(B|A)是条件概率，表示在已知事件A发生的情况下事件B发生的概率。当P(AB)=P(B|A)时，这表明事件B的发生并不依赖于事件A的发生，但并不意味着A和B相互独立，因为独立性要求P(AB)=P(A)P(B)，即A的发生对B的发生没有影响，反之亦然。 两事件A和B相互独立的条件是，A的发生不受B的影响，B的发生也不受A的影响，即P(AB)=P(A)P(B)。对于n个事件A1,A2,…,An，它们相互独立意味着任意两个事件Ai和Aj(i≠j)都是独立的，并且所有事件同时发生的概率等于各自概率的乘积，即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An)。 在A和B互不相容的情况下，即P(AB)=0，它们不能同时发生。如果A和B同时满足独立和互不相容，则它们必须是概率为0的事件，因为独立要求P(AB)=P(A)P(B)，而互不相容要求P(AB)=0。所以，当P(A)≠0且P(B)≠0时，A和B不能同时既独立又互不相容。 当A和B独立，P(A)=a，P(B)=b时，P(A∪B)是A和B至少有一个发生的概率，根据概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=a+b-ab。若A和B互不相容，即P(AB)=0，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=a+b。这些关系揭示了独立性和互不相容性对联合概率的影响。