量子力学的矩阵表象与态向量解析
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更新于2024-08-05
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第八章探讨了量子力学中的矩阵形式,主要关注态和力学量的表象与表象变换。量子态的描述不再局限于单一方式,如坐标表象和动量表象,而是引入了一般化的离散表象。在这个框架下,一个Hermitian算符(如力学量Q)的本征值集是离散的,其本征函数系满足正交归一性和完备性条件。
在离散表象中,任何波函数
(
,
)
t
x
<
可以通过本征函数系展开为Q
ˆ表象中的“波函数”系列,即
(
,
)
(
,
)
n
n
n
xt
atu
x
<
。这种转换过程可以将函数表示为矩阵形式,态矢量
(
,
)
(
,
)
(
,
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(
2
1
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§<
t
a
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n,其Hermitian共轭态矢量记为
†
1
2
()
(),
(),
,
(),
n
t
at
at
at
<
。这种矩阵乘法和内积的定义体现了量子态的线性性质和叠加原理。
基矢量
(
x
un
)和态矢量的分量
(
t
an
)的概念源于叠加原理,它们在数学表达中扮演了构建量子态的重要角色。矩阵形式不仅简化了计算,还展示了量子力学中不同表象之间的转换关系。通过这种矩阵方法,我们可以更深入地理解量子系统的性质和行为,例如,通过求解矩阵方程来找出量子系统在特定力学量下的演化。量子力学的矩阵形式是理解和处理复杂量子系统的核心工具之一,对于理论分析和实际应用都具有重要意义。
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