多元统计分析：主成分、因子与聚类分析详解

"该资源是一份关于多元统计分析的课件，主要涵盖了主成分分析、因子分析、聚类分析和判别分析四个主题。通过这些分析方法，可以处理多维度的数据，提取关键信息并简化数据结构。" 在多元统计分析中，因子分析是一种常用的数据降维技术，旨在识别隐藏在大量变量背后的小数量的公共因子。标题中的“因子的求解”指的是寻找能够解释数据变异性的主要因素的过程。描述中提到，相关系数矩阵的特征根和特征向量是进行因子分析的基础，特征根（λ1, λ2, ..., λp）代表了矩阵的固有特性，而特征向量（U1, U2, ..., Up）则指示了变量之间的关联模式。 主成分分析（PCA）是因子分析的一种形式，其基本思想是通过线性变换将一组可能存在相关性的变量转化为一组线性无关的新变量，即主成分。这些新变量是原始变量的线性组合，且第一个主成分拥有最大的方差，随后的每个主成分依次具有尽可能小的方差，同时与之前的主成分不相关。在二维空间中，这可以通过旋转坐标轴实现，使得数据在新的坐标轴上的分布更为集中。数学模型中，主成分Y1和Y2分别代表了数据的大部分信息和剩余信息。 因子分析则更注重于寻找潜在的公共因子。因子载荷是变量与因子间的关联度量，统计意义上它们反映了变量在因子上的投影强度。因子的求解通常涉及特征值分解或奇异值分解，以确定哪些因子对数据的变异贡献最大。因子得分则是每个观测值在各个因子上的得分，可用于后续分析或解释。 聚类分析是另一种重要的数据分析方法，其目标是将数据集中的观测值按照相似性归类。它依赖于特定的统计量（如欧氏距离、余弦相似度等）和分类方法（如层次聚类、K均值聚类等），通过迭代过程形成不同的群组。 判别分析则用于预测或分类，基于已有类别数据，构建一个模型来区分不同类别的新观测值。基本方法包括 Fisher's LDA（线性判别分析）和QDA（二次判别分析），并且通过判别效果的评价（如分类准确率）来衡量模型的性能。 这份课件详细介绍了多元统计分析中的四种重要方法，包括它们的基本思想、数学模型、求解步骤以及实际应用案例，对于理解和应用这些方法进行数据探索和简化有着重要的指导价值。