张量概念解析：从一阶到高阶

"张量tensor<p>多维数组-张量分解ppt" 张量，作为数学中的一个重要概念，尤其在物理学、工程学以及现代数据科学中占据着核心地位，是多维数组的一种形式。它是一种多维的数据结构，可以看作是向量和矩阵的推广。在描述复杂系统和高维数据时，张量是非常有效的工具。 1. **基本概念与记号** - 张量是一个多维数组，可以包含一阶、二阶乃至更高阶的元素。 - 一阶张量通常称为向量，表示一维数组；二阶张量称为矩阵，表示二维数组；三阶张量则代表三维数组，以此类推。 2. **张量空间** - 张量空间是由向量空间中多个基底的外积张成的。这意味着，任何张量都可以表示为这些基底的线性组合。 3. **向量的外积和内积** - 外积是向量间的乘法运算，形成一个新的张量，其阶数等于原来向量的阶数之和。 - 内积则是向量间的点乘运算，它给出的是一个标量（零阶张量）。 4. **张量的阶** - 阶表示张量所属张量空间的向量空间的个数。例如，一阶张量有1个向量空间，二阶张量有2个，三阶张量有3个。 5. **纤维（fiber）** - 纤维是张量在特定模式下的单个“线性”部分，如列纤维、行纤维和管纤维。 6. **切片（slice）** - 切片是张量的二维子集，包括水平切片、侧面切片和正面切片，这些切片可以帮助我们理解和操作高维数据。 7. **内积和范数** - 内积是衡量两个张量相似度的度量，而范数则是衡量张量大小的标准。Frobenius范数是所有元素平方和的平方根，提供了一种整体衡量张量大小的方法。 8. **秩一张量/可合张量** - 秩一张量是指可以表示为有限个向量外积的张量，这对应于张量的最小表示。 9. **（超）对称性和（超）对角** - 对称张量的元素在下标的任意排列下保持不变，而对角张量则意味着非对角位置上的元素为零。 10. **展开（matricization/unfolding/flattening）** - 展开是将张量沿着某个模式转换成矩阵的过程，这有助于将复杂的高维操作转化为更简单的二维矩阵运算。 张量分解是处理和分析张量数据的关键技术，它包括像奇异值分解(SVD)、张量奇异值分解(T-SVD)、CANDECOMP/PARAFAC(CP)分解、多线性奇异值分解(MSVD)等多种方法。这些分解技术在机器学习、推荐系统、图像处理等领域有广泛应用，能够揭示隐藏的低维结构，降低计算复杂性，以及提取数据中的重要特征。例如，CP分解将张量分解为一系列向量的乘积，有助于理解和解释数据的潜在因素。通过理解和应用这些张量理论，我们可以更好地理解和处理现代数据科学中的复杂问题。