动态规划背包问题详解：九讲实战指南

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本教程深入探讨了动态规划中的核心问题——背包问题，共计九个章节，旨在为具有一定算法基础的读者提供详尽的学习指南。从基础的01背包问题（即每个物品只能取一次）开始，逐级讲解了完全背包问题（每个物品可以取任意次数）、多重背包问题（每种物品有限定的总量）以及它们之间的混合形式。每个部分都包含问题的陈述、基本解题思路、优化技巧和不同版本的算法。在01背包问题中，章节1.1阐述了基本的数学模型，1.2介绍了使用动态规划表格来存储和更新最大价值的方法，1.3则关注如何优化空间复杂度。1.4和1.5讨论了初始化和常数优化的细节，确保了解决问题的准确性和效率。完全背包问题在第2章详细分析，包括问题陈述（2.1）和如何通过调整策略（2.3）来简化求解。将完全背包问题转化为01背包问题是解决策略的一部分，这有助于理解两种问题的内在联系（2.4和2.5）。多重背包问题在第3章涉及，从基本算法（3.2）到如何利用子问题（3.3）转换至01背包问题，再到提出O(VN)的时间复杂度算法（3.4），提供了全面的解决方案。混合三种背包问题（4.1-4.4）章节探讨了复杂情况下的问题组合，涉及多种背包类型的综合应用。二维费用的背包问题（5.1-5.5）考虑物品除了价值外还有额外的成本，以及整数域上的特殊处理。分组的背包问题（6.1-6.3）则涉及物品按照特定规则分组后的问题。对于有依赖的背包问题（7.1-7.4），章节探讨了当物品之间存在相互依赖关系时的求解方法，包括简化问题和更一般情况的处理。最后，章节8和9聚焦于背包问题的泛化，如泛化物品的概念（8.1-8.4）以及背包问题在输出方案多样性、方案数量和最优解查找等方面的不同变体（9.1-9.6）。通过这一系列讲解，读者不仅可以掌握背包问题的基本解题技巧，还能理解和应对更复杂的实际问题情境。每个部分都强调了问题的解决策略和算法优化，为动态规划在背包问题中的实际应用提供了坚实的基础。

中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化

为一个只和前i − 1件物品相关的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化

为“前i − 1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F [i − 1, v]；如果放第i件物

品，那么问题就转化为“前i − 1件物品放入剩下的容量为v − C

的背包中”，

此时能获得的最大价值就是F [i − 1, v − C

]再加上通过放入第i件物品获得的价

值W

。

伪代码如下：

F [0, 0..V ] = 0

for i = 1 to N

for v = C

to V

F [i, v] = max{F [i − 1, v], F [i − 1, v − C

] + W

}

1.3 优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(V N )，其中时间复杂度应该已经不能

再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V )。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i = 1..N，每次

算出来二维数组F [i, 0..V ]的所有值。那么，如果只用一个数组F [0..V ]，能不

能保证第i次循环结束后F [v]中表示的就是我们定义的状态F [i, v]呢？F [i, v]是

由F [i − 1 , v]和F [i − 1, v − C

]两个子问题递推而来，能否保证在推F [i, v]时（也

即在第i次主循环中推F [v]时）能够取用F [i − 1, v] 和F [i − 1, v − C

]的值呢？事

实上，这要求在每次主循环中我们以v = V..0的递减顺序计算F [v]，这样才能保

证推F [v]时F [v − C

]保存的是状态F [i − 1, v − C

的值。伪代码如下：

F [0..V ] = 0

for i = 1 to N

for v = V to C

F [v] = max{F [v], F [v − C

] + W

}

其中的F [v ] = max{F [v], F [v − C

] + W

}一句，恰就对应于我们原来的转移方

程，因为现在的F [v − C

]就相当于原来的F [i − 1, v − C

]。如果将v的循环顺序

从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了F [i, v]由F [i, v − C

]推导得到，与本题

意不符。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象

出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

def ZeroOnePack(F , C, W )

for v = V to C

F [v] = max(F [v], f [v − C] + W )

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i = 1 to N

ZeroOnePack(F, C

, W

)

1.4 初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。

有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背

包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

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RiemannHypo

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