5G mMTC中非2幂次长度二元扩频序列的研究 - CSDN文库

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引理 1

[20]

　对于给定的$ \{ 1,2, \cdots,m\} $的置换向量${{\boldsymbol{\pi}} _k}$，$v =

\displaystyle\sum\nolimits_{r = 1}^m {{v_r}{2^{r - 1}}}$，具有式(7)形式的布尔函数给出了

长度为$ {2^m} $的 2 元 Golay 序列的标准形式

$$ f_{{{\boldsymbol{\pi}} _k}}^{(v)}({\boldsymbol{x}}) = \sum\limits_{r = 1}^{m - 1} {{x_{{{\boldsymbol{\pi}}

_k}(r)}}{x_{{{\boldsymbol{\pi}} _k}(r + 1)}} + \sum\limits_{r = 1}^m {{v_r}{x_r} + e,{v_r},e \in

{\mathbb{Z}_2}} } $$

(7)

即$ {\boldsymbol{a}} \leftrightarrow f_{{\pi _k}}^{(v)} $, $ {\boldsymbol{a}} $为长度为

$ {2^m} $的 2 元 Golay 序列。

引理 2

[17]

　考虑一个长度为$ N $的$ {\rm{GCP}}({\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}})

$，设$ ({\boldsymbol{c}},{\boldsymbol{d}}) $为它的互补偶。如果

$ {x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in \mathbb{C} $, ${\boldsymbol{e}} =

$$ I({\boldsymbol{a}},0,{x_1})$, $ {\boldsymbol{f}} = I({\boldsymbol{b}},0,{y_1})

$, $ {\boldsymbol{g}} = I({\boldsymbol{c}},N,{x_2}) $, ${\boldsymbol{h }}=

I({\boldsymbol{d}}, $$ N,{y_2})$，那么当$ {x_1} = y_2^* $, $ {y_1} = - x_2^* $时，

${\boldsymbol{A}} = [{{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}},{{\boldsymbol{f}}^{\rm{T}}},

$$ {{\boldsymbol{g}}^{\rm{T}}},{{\boldsymbol{h}}^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}$为一个集合大小

为 4，序列长度为$ N + 1 $的互补集，集合中序列的 PAPR 最大值为 4。

引理 3

[17]

　考虑一个长度为$ N $的$ {\rm{GCP}}({\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}})

$，设$ ({\boldsymbol{c}},{\boldsymbol{d}}) $为它的互补偶。此外设

${x_1},{y_1},{x_2},{y_2},{x_3},{y_3}, $$ {x_4},{y_4} \in \mathbb{C}$, $ {\boldsymbol{e}}

= I({\boldsymbol{a}},0,{x_1}) $, $ {\boldsymbol{f}} = I({\boldsymbol{b}},0,{y_1})

$, ${\boldsymbol{g}} = $$ I({\boldsymbol{c}},0,{x_3})$, $ {\boldsymbol{h}} =

I({\boldsymbol{d}},0,{y_3}) $，如果$ {\boldsymbol{p}} = I({\boldsymbol{e}},N + 1,{x_2})

$, $ {\boldsymbol{q}} = I({\boldsymbol{f}},N + 1,{y_2}) $, $ {\boldsymbol{r}} =

I({\boldsymbol{g}},N + 1,{x_4}) $, ${\boldsymbol{s}} = I({\boldsymbol{h}}, $$ N +

1,{y_4})$，当$ {x_1} - y_4^* = 0 $, $ x_2^* - {y_3} = 0 $, $ {y_1} + x_4^* = 0 $, $ y_2^* +

{x_3} = 0 $, $ {x_2}{y_4} = {y_2}{x_4} $时，$ {\boldsymbol{A}} =

{[{{\boldsymbol{p}}^{\rm{T}}},{{\boldsymbol{q}}^{\rm{T}}},{{\boldsymbol{r}}^{\rm{T}}}

,{{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}} $为集合大小为 4，序列长度为$ N + 2 $的互补

集，集合中序列的 PAPR 最大值为 4。

3. 系统模型

图 1 是典型的上行链路免调度 NOMA 的系统模型，该系统由一个基站和$ N $个设备

组成，基站与设备配备的都是单个天线。在实际的 mMTC 系统中，活跃设备通常在相邻的

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