随机变量的数学期望与数字特征分析

"随机变量的数字特征，包括数学期望的计算和性质，离散型随机变量的概率函数，以及与概率密度函数相关的数学期望求解。此外，还涉及到统计学中的参数估计和假设检验，以及实际问题中如何运用随机变量的数字特征来优化决策，如选择最合适的砝码组合。" 在随机变量的数字特征这一章中，数学期望是核心概念。对于给定的随机变量ξ1, ξ2, ξ3，它们的数学期望可以通过求和每个值与对应概率的乘积来计算。例如，ξ1的数学期望E(ξ1) = 0*(1/4) + 10*(1/4) + 20*(1/4) + 30*(1/4) = 15。同样的方法可应用于ξ2和ξ3。 离散型随机变量X的概率函数是P(X = (-1)^k * 2^k) = 1/(2^k)，k = 1, 2, ...，要判断X是否具有数学期望，我们需要检查是否所有的无限级数和都收敛。由于1/(2^k)是递减的，并且满足几何级数收敛条件，所以X确实有数学期望。 在物品重量称量的问题中，目标是找到需要最少平均砝码数的一组。通过对不同砝码组合的数学期望计算，可以确定最优方案。例如，可以使用期望值来比较(A)，(B)和(C)三组砝码，找出期望使用砝码数最少的一组。 题目还要求证明对于只取非负整数值的随机变量ξ，其数学期望满足Eξ = ∑(n=1 to ∞) P(ξ ≥ n) = ∑(n=0 to ∞) P(ξ > n)。这是数学期望的一个重要性质，可以通过积分或无穷级数的技巧进行证明。 接着，给出了两个连续随机变量的期望计算。对于概率密度函数f(x)，数学期望E(X) = ∫[-∞, ∞] xf(x) dx。对于第一种情况，f(x) = 1/(2a) * exp(-|x-b|/a)，其期望值可以通过对称性和积分得到。第二种情况，f(x)是一个分段函数，需要分区间分别计算积分。 最后，提到了参数估计和假设检验，这是统计学中的关键部分，涉及如何基于样本数据对总体参数进行推断。例如，可以使用最大似然估计法或矩估计法进行参数估计，而在假设检验中，会根据p值来判断接受或拒绝原假设。 这些内容涵盖了概率论和统计学的基础知识，对理解随机现象的特性以及如何利用这些特性解决问题至关重要。