随机信号分析基础：随机变量与数字特征

"随机信号分析基础第一章答案，包含王永德和王军编著的《随机信号分析基础》（第三版）中第一章随机变量基础的相关习题解答，涉及随机变量的概率分布、概率密度、数字特征以及随机变量函数的分布等核心概念。" 在随机信号分析中，第一章主要介绍了随机变量的基础知识，这对于理解和应用随机过程至关重要。首先，随机变量分为离散和连续两种类型。离散随机变量的概率分布通过概率质量函数（PMF）来描述，而连续随机变量则由概率密度函数（PDF）来刻画。对于离散随机变量，PMF是在所有可能取值上的概率分配；对于连续随机变量，PDF是概率密度在每个点的概率。 其次，讨论了随机变量的数字特征，包括均值（期望）、方差以及更高阶的矩。均值代表随机变量的平均值，方差则衡量随机变量的波动程度。n阶原点矩和中心矩可以提供关于随机变量形状的更多信息。当两个随机变量X和Y相互独立时，它们的期望值和方差满足特定关系，即E[XY] = E[X]E[Y]，E[(X - E[X])^2] = D[X]，E[(Y - E[Y])^2] = D[Y]，这反映了统计独立性。 此外，随机变量的函数，特别是单调函数，其分布可以通过雅可比变换来求解。对于一维随机变量，如果Y=g(X)是X的单调函数，那么Y的分布可以由X的分布函数通过雅可比行列式J进行转换。对于多维随机变量的函数，如N维随机向量X到N维随机向量Y的转换，分布则涉及到联合概率密度函数的变换。 最后，特征函数在随机变量分析中扮演着重要角色。它是随机变量概率密度函数的傅立叶变换，具有诸多有用性质，例如可以通过特征函数恢复原始概率分布，且对于独立随机变量，它们的特征函数是各自特征函数的乘积。特征函数在处理相关性和正交性问题时特别有效，当两个随机变量的特征函数相乘等于1时，它们表示互相正交。 这一章的内容为后续的随机过程分析奠定了基础，涵盖了理解随机现象的关键数学工具，是信号处理、通信工程、统计学等领域的重要理论组成部分。