图论算法详解与应用:从欧拉到现代计算机科学
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更新于2024-08-09
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"《图论研究及图论教学_①-etap学习资料》和《图论算法理论、实现及应用》"
图论是数学的一个重要分支,它研究由顶点和连接这些顶点的边构成的图形结构,用于描述各种实体间的关系。这一领域起源于18世纪瑞士数学家欧拉解决的哥尼斯堡七桥问题,他通过抽象化问题为图的形式,开创了图论的研究。七桥问题是图论中的经典案例,展示了如何将实际问题转化为数学模型。
图论中的图可以分为无向图和有向图,其中边可以没有方向或者具有方向性。图的存储通常采用邻接矩阵或邻接表,前者通过二维数组表示所有顶点间是否存在边,后者则通过链表仅存储实际存在的边。
图的遍历是图论中的基础操作,包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS),常用于查找路径、判断连通性和构建树形结构。树与生成树是图论中的重要概念,一棵生成树是图的一个子集,包含图的所有顶点,且任意两个顶点间有且仅有一条路径。最小生成树问题(如Prim算法和Kruskal算法)则关注于找到权值最小的生成树。
最短路径问题,如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法,用于寻找图中两点间的最短路径。可行遍历问题涉及到图的环检测,确保遍历时不会陷入无限循环。网络流问题,如Ford-Fulkerson方法和Edmonds-Karp算法,用于确定在图中能通过的最大流量。
点支配集、点覆盖集、点独立集、边覆盖集、边独立集(匹配)是图的组合优化问题,这些概念在资源分配、电路设计和网络规划中有重要应用。图的连通性问题关注图中各顶点是否可达,平面图与图的着色问题则涉及图形布局和染色策略,如四色定理。
在计算机科学和工程领域,图论算法广泛应用于网络设计、数据结构、操作系统、编译器设计、人工智能、机器学习、优化问题和计算机图形学等多个方面。图论教学也日益受到重视,不仅在数学专业,也在计算机科学、电子学和管理学等专业中被作为必修或选修课程。
《图论算法理论、实现及应用》这本书详细介绍了图论的基础概念和算法实现,通过ACM/ICPC竞赛题目举例,帮助读者理解图论算法的思维方式,并提供了编程实现的指导,适合作为高等教育的教学材料和ACM/ICPC竞赛的参考书籍。
2021-10-03 上传
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吴雄辉
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