Isserlis定理：多元正态分布任意阶混合矩的通用公式证明

Isserlis定理，也称为Isserlis's Theorem，是概率论与数理统计中的一个重要结果，主要应用于计算多变量正态分布的高阶矩。该定理最初由Leon Isserlis在其1918年的论文《ON A FORMULA FOR THE PRODUCT-MOMENT COEFFICIENT OF ANY ORDER OF A NORMAL FREQUENCY DISTRIBUTION IN ANY NUMBER OF VARIABLES》中提出。这篇论文的核心内容是为任意数量的变量中的正态频率分布提供了计算混合矩系数（即不同变量之间的协方差）的一种公式方法。 定理的关键在于给出了一种关于四变量正态分布的混合矩系数的表达式，其中p是关于四个变量均值的乘积矩系数，而q^t是其对应的降阶矩。具体地，当q^t等于r't.r + rny't + rzy't，其中r, n, 和 m 分别代表相关系数，变量个数，以及阶数时，这个公式展示了如何通过基本的组合关系简化计算。例如，当两个或更多的变量被设为相同，我们可以得到不同变量数目的混合矩，如在(2)中提到的<••>=rn+2rnra和q*=3等。 Isserlis定理的证明过程是基于数学归纳法，它首先在四变量的情况下验证了定理，然后通过归纳假设扩展到任意变量数。他假设这一公式可以进一步推广，并提供了一个一般化的定理，可以直接给出任意正态分布中任何变量的混合矩系数，无论这些变量的数量有多少。 对于实际应用，Isserlis定理在诸如随机过程、金融工程、信号处理等领域具有重要意义，特别是在需要处理大量随机变量且协方差结构复杂的模型分析中，这个定理简化了高阶矩的计算，使得理论推导和数据分析更加高效。通过引用这篇论文，研究人员和工程师可以利用Isserlis定理进行更深入的统计分析，从而获得对多变量正态分布性质的深入理解。