连续时间系统时域分析与IIR滤波器设计

信号与系统讲义的第二章深入探讨了连续时间系统的时域分析，这一部分主要围绕线性时不变系统展开。首先，章节介绍了如何通过《电路分析》课程中学到的基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），构建系统的数学模型，形成线性微分方程。微分方程的一般形式是基于输入电流或电压对系统状态变量的影响。 时域分析的核心包括求解通解和特解。通解是由特征方程决定的自然响应或自由响应，而特解则是由外部激励信号产生的受迫响应。经典解法在激励信号简单的场景下较为直观，但面对复杂信号，确定特解变得困难。卷积法（近代时域法或算子法）在此时更为有效，它将响应划分为零输入响应（仅由初始状态产生的响应）和零状态响应（仅由输入信号产生的响应）。零输入响应和零状态响应的计算通常依赖于数值方法，因为它们不能直接与经典解法中的自然响应和受迫响应相等。 章节还提及了系统微分方程的算子表示，这是将复杂的微分关系简洁化的一种工具。微分算子和积分算子被引入，用于表达电感和电容的伏安特性，将它们视为具有特定阻抗（感抗和容抗）的等效电阻。通过算子，线性时不变系统的微分方程可以转化为更易于处理的形式，如一阶和二阶微分方程。算子运算法则规定了这些运算的基本规则，例如微分和积分的结合以及对数和指数的运算。 值得注意的是，虽然微分方程的算子表示提供了一种简洁的表达方式，但它并不意味着可以直接进行算术运算，尤其是在涉及非线性系统或者特定函数的情况下。此外，卷积法要求激励信号必须是有界的，否则无法确定初始状态。 总结来说，第二章详细讲解了连续时间系统时域分析的理论基础，包括方程建立、求解策略以及算子在简化微分方程中的运用，这些都是深入理解数字信号处理中IIR滤波器设计的基础，对于后续章节的数字滤波器设计和分析具有重要意义。