2n阶非线性差分方程周期解的研究

"这篇文章是关于$2n$阶非线性差分方程周期解的存在性的研究，由朱时炎和周展合作完成，发表在《http://www.paper.edu.cn》上，属于首发论文。文章探讨了方程$∑_{i=0}^{n}Δ^i(r_{i,k}Δ^ix_{k-i})=f(k,x_k)$在不同的条件下的周期解和多解性，利用临界点理论和变分法进行分析。" 在数学领域，非线性差分方程是描述许多复杂系统动态行为的重要工具，特别是在物理、工程、生物和其他科学领域。本文关注的是具有周期性的$2n$阶非线性差分方程，这类方程通常用来模拟具有周期性特性的现象，如振动系统的周期运动或生态系统的季节性变化。 给出的差分方程形式为： $$\sum_{i=0}^{n} \Delta^i (r_{i,k} \Delta^i x_{k-i}) = f(k, x_k), \quad k \in \mathbb{Z},$$ 其中，$\Delta^i$表示差分算子，$r_{i,k}$是与之相关的系数，$x_k$是序列的第$k$个值，而$f(k,x)$是定义在整数集$\mathbb{Z}$与实数集$\mathbb{R}$上的连续函数，且满足周期性条件$f(k+T, x) = f(k, x)$对于所有$(k, x) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{R}$。此外，系数$r_{i,k}$也具有相同的周期性，即$r_{i,k+T} = r_{i,k}$对于所有的$i \in \{1, 2, ..., n\}$和$k \in \mathbb{Z}$，$T$是一个给定的正整数。 朱时炎和周展运用了临界点理论来研究这个问题。临界点理论是微分方程和变分法中的一个重要分支，它通过分析函数的临界点来寻找方程的解。在本文中，他们建立了差分方程的变分结构，这意味着将非线性差分方程转化为一个变分问题，然后利用变分方法（如Ekeland's变分原理或Linking定理）来寻找方程的周期解。 通过这种方式，作者在不同条件下得到了方程周期解的存在性和多解性的结果。这些结果可能包括存在唯一解、多重解或无解的结论，具体取决于函数$f$和系数$r_{i,k}$的性质。这些结果不仅深化了对非线性差分方程解的理论理解，还可能对实际应用中的问题提供了解析工具。 关键词的设置进一步强调了文章的核心内容：周期解、非线性差分方程、临界点理论以及变分泛函。这些关键词表明，该研究在非线性动力学和泛函分析的交叉领域有着重要的贡献，并且可能对相关领域的研究者具有很高的参考价值。