快速排序详解：原理、实现与时间复杂度

快速排序是一种高效的排序算法，由C.A.R. Hoare在1962年提出，其基本原理基于分治策略。它通过一趟排序将待排序的数列划分为两个独立的部分，一部分包含所有小于基准数的元素，另一部分包含所有大于基准数的元素。这个过程会递归地应用于两个子序列，直到每个子序列只剩下一个元素，整个序列便达到有序。 快速排序的核心步骤如下： 1. **选择基准数**：通常选取数列的第一个元素作为基准，但也可以选择其他位置的元素，如中间或随机选取。 2. **分区操作**：将数列分为两部分，一部分包含所有小于基准的元素（包括相等元素），另一部分包含所有大于基准的元素。这一步的关键在于找到一个“划分点”k，使得左侧的元素都小于等于k，右侧的元素都大于k。 3. **交换元素**：通过两个指针i（从右向左寻找第一个小于基准的元素）和j（从左向右寻找第一个大于基准的元素），找到并交换这两个元素的位置。这个过程避免了像冒泡排序那样逐个比较和交换的低效操作。 4. **递归排序**：对左右两个子序列分别进行相同的快速排序操作，直至子序列只剩一个元素或为空。 快速排序的时间复杂度分析是其主要亮点： - **平均情况下的时间复杂度**：O(n log n)。这是因为每次分区操作都能大致均匀地将序列分成两半，递归调用的深度接近于log n，而每层需要比较的元素数量为n/2，因此总操作次数约为n log n。 - **最坏情况下的时间复杂度**：O(n^2)，当输入数组已经有序或逆序时，分区操作可能会导致一边的子序列为空，另一边包含n-1个元素，此时递归树退化成单链，效率较低。 - **空间复杂度**：由于递归调用，需要额外O(log n)的栈空间。 尽管有最坏情况下的性能问题，但在实际应用中，通过随机化选取基准数或其他优化策略，快速排序通常能表现出较好的平均性能，成为排序算法中的经典之一。